Bài 1.53 trang 37 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Cho hàm số : y = x³ – 3x²

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.

b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình:  x³ – 3x² – m = 0  có ba nghiệm phân biệt.

(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2008).

Hướng dẫn làm bài:

a) TXĐ: D = R

Sự biến thiên: 

\(\eqalign{
& y' = 3{x^2} - 6x = 3x(x - 2) \cr
& y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)                       

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(( - \infty ;0),(2; + \infty )\)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 ; y_CĐ = y(0) = 0

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; y_CT = y(2) = -4.

Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y =  \pm \infty \)

Điểm uốn: \(y'' = 6x - 6,y'' = 0 \Leftrightarrow x = 1;y(1) =  - 2\)

Suy ra đồ thị có điểm uốn I(1; -2)

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị cắt trục hoành tại O(0; 0), A(3; 0). Đồ thị đi qua điểm B(-1; -4); C(2; -4).

b) \({x^3} - 3{x^2} - m = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} = m\)         (*)

Phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng y = m cắt (C) tại 3 điểm phân biệt. Từ đó suy ra:  

- 4 < m < 0.

Sachbaitap.com