Bài 1.57 trang 38 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

 \(y = {{x + 2} \over {x - 3}}\)                               

b) Chứng minh rằng giao điểm I của hai tiệm cận của (C) là tâm đối xứng của (C).

c) Tìm điểm M trên đồ thị của hàm số sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.

Hướng dẫn làm bài:

a) 

b) Tiệm cận đứng là đường thẳng x = 3.

     Tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1.

Do đó, giao điểm của hai đường tiệm cận là I(3; 1). Thực hiện phép biến đổi:

\(\left\{ \matrix{
x = X + 3 \hfill \cr
y = Y + 1 \hfill \cr} \right.\)                                                          

Ta được \(Y + 1 = {{X + 5} \over X} \Leftrightarrow  Y = {{X + 5} \over X} - 1 \Leftrightarrow Y = {5 \over X}\)

Vì \(Y = {5 \over X}\) là hàm số lẻ nên đồ thị (C) của hàm số này có tâm đối xứng là gốc tọa độ I của hệ tọa độ IXY.

c) Giả sử \(M({x_0};{y_0}) \in (C)\) . Gọi d1 là khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng và d2 là khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang, ta có:

  \({d_1} = |{x_0} - 3|,{d_2} = |{y_0} - 1| = {5 \over {|{x_0} - 3|}}\)                        

Có hai điểm thỏa mãn đầu bài, đó là hai điểm có hoành độ  \({x_0} = 3 \pm \sqrt 5 \)

Sachbaitap.com