Bài 1.56 trang 38 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Cho hàm số  \(y = {{3(x + 1)} \over {x - 2}}\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Viết phương trình các đường thẳng đi qua O(0;0) và tiếp xúc với (C) .

c) Tìm tất cả các điểm trên (C) có tọa độ là các số nguyên.

Hướng dẫn làm bài:

a) 

b) Cách 1.

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M₀(x₀; y₀) là:

                        y – y₀ = y’(x₀)(x – x₀)

Trong đó \(y'({x_0}) = {{ - 9} \over {{{({x_0} - 2)}^2}}}\) . Ta có:

\(y =  - {9 \over {{{({x_0} - 2)}^2}}}(x - {x_0}) + {y_0}\)  với \({y_0} = {{3({x_0} + 1)} \over {{x_0} - 2}}\)

Để đường thẳng đó đi qua O(0; 0), điều kiện cần và đủ là: 

\({{9{x_0}} \over {{{({x_0} - 2)}^2}}} + {{3({x_0} + 1)} \over {{x_0} - 2}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_0} \ne 2 \hfill \cr
{x_0}^2 + 2{x_0} - 2 = 0 \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow  {x_0} =  - 1 \pm \sqrt 3 \)         

+) Với \({x_0} =  - 1 + \sqrt 3 \) , ta có phương trình tiếp tuyến: \(y =  - {3 \over 2}(2 + \sqrt 3 )x\)

+) Với \({x_0} =  - 1 - \sqrt 3 \) , ta có phương trình tiếp tuyến: \(y =  - {3 \over 2}(2 - \sqrt 3 )x\) .

Cách 2.

Phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O có dạng y = kx.

Để xác định tọa độ tiếp điểm của hai đường: \(y = {{3(x + 1)} \over {x - 2}}\)  và y = kx , ta giải hệ:

\(\left\{ \matrix{
{{3(x + 1)} \over {x - 2}} = kx \hfill \cr
- {9 \over {{{(x - 2)}^2}}} = k \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{{3(x + 1)} \over {x - 2}} + {{9x} \over {{{(x - 2)}^2}}} = 0 \hfill \cr
- {{3(x + 1)} \over {x - 2}} = k \hfill \cr} \right.\)                        

Giải phương trình thứ nhất ta được: \(x =  - 1 \pm \sqrt 3 \)

Thay vào phương trình thứ hai ta có: 

   \({k_1} =  - {3 \over 2}(2 + \sqrt 3 );{k_2} =  - {3 \over 2}(2 - \sqrt 3 )\)              

Từ đó có hai phương trình tiếp tuyến là: \(y =  - {3 \over 2}(2 + \sqrt 3 )x\) và \(y =  - {3 \over 2}(2 - \sqrt 3 )x\)

c) Để tìm trên (C) các điểm có tọa độ nguyên ta có:

\(y = {{3(x + 1)} \over {x - 2}} \Leftrightarrow  y = 3 + {9 \over {x - 2}}\)                         

Điều kiện cần và đủ để  \(M(x,y) \in (C)\)  có tọa độ nguyên là: 

\(\left\{ \matrix{
x \in Z \hfill \cr
{9 \over {x - 2}} \in Z \hfill \cr} \right.\)

  tức (x – 2) là ước của 9.

Khi đó, x – 2 nhận các giá trị \( \pm 1; \pm 3; \pm 9\) hay x nhận các giá trị 1; 3; -1; 5; -7; 11.

Do đó, ta có 6 điểm trên (C) có tọa độ nguyên là:  (1; -6), (3; 12), (-1; 0), (5; 6), (-7; 2), (11; 4).

Sachbaitap.com