Bài 1.51 trang 37 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Cho hàm số: \(y =  - ({m^2} + 5m){x^3} + 6m{x^2} + 6x - 5\)

a) Xác định m để hàm số đơn điệu trên R. Khi đó, hàm số đồng biến hay nghịch biến? Tại sao?

b) Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại tại x = 1 ?

Hướng dẫn làm bài:

a)

\(\eqalign{
& y = - ({m^2} + 5m){x^3} + 6m{x^2} + 6x - 5 \cr
& y' = - 3({m^2} + 5m){x^2} + 12mx + 6 \cr} \)  

Hàm số đơn điệu trên R khi và chỉ khi y’ không đổi dấu.

Ta xét các trường hợp:

+)  \({m^2} + 5m = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
m = 0 \hfill \cr
m = - 5 \hfill \cr} \right.\)

- Với m = 0 thì y’ = 6 nên hàm số luôn đồng biến.

- Với m = -5 thì y’ = -60x + 6 đổi dấu khi x đi qua .

+) Với \({m^2} + 5m \ne 0\) Khi đó, y’ không đổi dấu nếu 

\(\eqalign{
& \Delta ' = 36{m^2} + 18({m^2} + 5m) \le 0 \cr
& \Leftrightarrow  3{m^2} + 5m \le 0 \Leftrightarrow  - {5 \over 3} \le m \le 0 \cr} \)       

- Với điều kiện đó, ta có \( - 3({m^2} + 5m) > 0\) nên y’ > 0 và do đó hàm số đồng biến trên R.

Vậy với điều kiện \( - {5 \over 3} \le m \le 0\) thì hàm số đồng biến trên R.

b) Nếu hàm số đạt cực đại tại x = 1 thì y’(1) = 0. Khi đó:

\(y'(1) = - 3{m^2} - 3m + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
m = 1 \hfill \cr
m = - 2 \hfill \cr} \right.\)                     

Mặt khác, \(y'' =  - 6({m^2} + 5m)x + 12m\)

+) Với m = 1  thì y’’ = -36x + 12. Khi đó, y’’(1) = -24 < 0 , hàm số đạt cực đại tại x = 1.

+) Với m = -2 thì y’’ = 36x – 24. Khi đó, y’’(1) = 12 > 0, hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.

Vậy với m = 1 thì hàm số đạt cực đại tại x = 1.

Sachbaitap.com