Bài 2.21 trang 64 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Hình chóp S.ABCD có SA = a là chiều cao của hình chóp và đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có AB = BC = a và AD = 2a. Gọi E là trung điểm của cạnh AD. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE

Hướng dẫn làm bài:

Tam giác CED là tam giác vuông cân tại E nên trục của đường tròn đi qua ba điểm C, E, D là đường thẳng \(\Delta \) đi qua trung điểm I của đoạn thẳng CD và song song với SA.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SE và SC. Ta có mặt phẳng (ABNM) là mặt phẳng trung trực của đoạn SE. Vậy tâm O của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE chính là giao điểm của \(\Delta \) và mp(ABNM). Gọi K là trung điểm của AB thì KN // AM và do đó KN //(SAE). Ta có IK // AD nên IK // (SAE).

Vậy KN và \(\Delta \) đồng phẳng và ta có O là giao điểm cần tìm.

Chú ý rằng OIK là tam giác vuông cân, vì  \(\widehat {OKI} = \widehat {MAE} = {45^0}\)

Ta có  OI = IK, trong đó \(IK = {{BC + AD} \over 2} = {{a + 2a} \over 2} = {{3a} \over 2}\)

Vậy  \(O{C^2} = O{I^2} + I{C^2} = {{9{a^2}} \over 4} + {{2{a^2}} \over 4}\)  (vì \(CD = a\sqrt 2 ;IC = {{CD} \over 2}\)). Do đó, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE là:  \(r = OC = {{a\sqrt {11} } \over 2}\).

Sachbaitap.com