Bài 23 trang 9 SBT Hình học 10 Nâng cao

Cho ngũ giác \(ABCDE\). Gọi \(M, N, P, Q, R\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB, BC, CD, DE, EA\). Chứng minh rằng hai tam giác \(MPE\) và \(NQR\) có cùng trọng tâm.

Giải

Với điểm \(G\) bất kì ta có

\(\eqalign{
& \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GP} + \overrightarrow {GE} \cr
& = {1 \over 2}(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} ) + {1 \over 2}(\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} ) + \overrightarrow {GE} \cr
& = {1 \over 2}(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} ) + {1 \over 2}(\overrightarrow {GD} + \overrightarrow {GE} ) + {1 \over 2}(\overrightarrow {GE} + \overrightarrow {GA} ) \cr
& = \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GQ} + \overrightarrow {GR} \cr} \)

Vậy \(\overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GP}  + \overrightarrow {GE}  = \overrightarrow 0\)

\(\Leftrightarrow \,\,\,\overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GQ}  + \overrightarrow {GR}  = \overrightarrow 0 \).

Suy ra trọng tâm hai tam giác \(MPE\) và \(NQR\) trùng nhau.

Sachbaitap.com