Bài 2.43 trang 85 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) cắt nhau theo giao tuyến m. Trên đường thẳng d cắt \(\left( \alpha  \right)\) ở A và cắt \(\left( \beta  \right)\) ở B ta lấy hai diểm cố định S₁,S₂ không thuộc \(\left( \alpha  \right)\), \(\left( \beta  \right)\). Gọi M là một điểm di động trên \(\left( \beta  \right)\). Giả sử các đường thẳng \(M{S_1},M{S_2}\) cắt \(\left( \alpha  \right)\) lần lượt tại M₁ và M₂.

a) Chứng minh rằng M₁M₂ luôn luôn đi qua một điểm cố định.

b) Giả sử đường thẳng M₁M₂ cắt giao tuyến m tại K. Chứng minh rằng ba điểm K, B, M thẳng hàng.

c) Gọi b là một đường thẳng thuộc mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\) nhưng không đi qua điểm B và cắt m tại I. Chứng minh rằng khi M di động trên b thì các điểm M₁ và M₂ di động trên hai đường thẳng cố định thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\).

Giải:

a) Mặt phẳng (M, d) cắt \(\left( \alpha  \right)\) theo giao tuyến M₁M₂. Điểm A cũng thuộc giao tuyến đó. Vậy đường thẳng M₁M₂ luôn luôn đi qua điểm A cố định.

b)  Mặt phẳng (M, d) cắt \(\left( \beta  \right)\) theo giao tuyến BM. Điểm K thuộc giao tuyến đó nên ba điểm K, B, M thẳng hàng.

c) Giả sử b cắt m tại I  thì mặt phẳng (S₁, b) luôn luôn cắt \(\left( \alpha  \right)\) theo giao tuyến IM₁. Do đó  điểm M₁ di động trên giao tuyến của IM₁ cố định. Còn khi M di động trên b thì mặt phẳng (S₂, b) cắt \(\left( \alpha  \right)\) theo giao tuyến IM₂. Do đó điểm M₂ chạy trên giao tuyến IM₂ cố định.

Sachbaitap.com