Bài 3.18 trang 179 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Bình chọn:
4.3 trên 3 phiếu

b) Tính I3 và I5.

Đặt  \({I_n} = \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{{\sin }^n}xdx} ,n \in {N^*}\)

a) Chứng minh rằng  \({I_n} = {{n - 1} \over n}{I_{n - 2}},n > 2\)

b) Tính I3 và I5.

Hướng dẫn làm bài

a) Xét với n > 2, ta có:  \({I_n} = \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{{\sin }^{n - 1}}x.\sin xdx} \)

Dùng tích phân từng phần với   và  , ta có:

\({I_n} = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^{n - 1}}x\sin xdx}\)

\({= - } \cos x{\sin ^{n - 1}}x\left| {\matrix{{{\pi \over 2}} \cr 0 \cr} } \right. + (n - 1)\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^{n - 2}}x{{\cos }^2}xdx} \)

\( = (n - 1)\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {({{\sin }^{n - 2}}x - {{\sin }^n}x)dx} \)

\(=  (n - 1){I_{n - 2}} - (n - 1){I_n}\)

Vậy \({I_n} = {{n - 1} \over n}{I_{n - 2}}\)

b) \({I_3} = {2 \over 3},{I_5} = {8 \over {15}}\)

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Xem lời giải SGK - Toán 12 - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2020, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới nâng cao.

Bài viết liên quan