Loigiaihay.com 2025

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Bài 3.24 trang 152 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Bình chọn:
3 trên 3 phiếu

Chứng minh rằng nếu tứ diện ABCD

Chứng minh rằng nếu tứ diện ABCD có \(AB \bot C{\rm{D}}\) và \(AC \bot B{\rm{D}}\) thì \(AD \bot BC\).

Giải:

Vẽ \(AH \bot \left( {BC{\rm{D}}} \right)\) tại H, ta có \(C{\rm{D}} \bot AH\) và vì \(C{\rm{D}} \bot AB\) ta suy ra \(C{\rm{D}} \bot BH\). Tương tự vì \({\rm{BD}} \bot AC\) ta suy ra \({\rm{BD}} \bot CH\)

Vậy H  là trực tâm của tam giác BCD  tức là \(DH \bot BC\)

Vì \(AH \bot BC\) nên ta suy ra \(BC \bot A{\rm{D}}\)

Cách khác . Trước hết ta hãy chứng minh hệ thức:

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {C{\rm{D}}}  + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {{\rm{AD}}} .\overrightarrow {BC}  = 0\) với bốn điểm A, B, C, D bất kì.

Thực vậy , ta có:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {C{\rm{D}}} = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {{\rm{AD}}} - \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{\rm{AD}}} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \cr
& \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} = \overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {{\rm{AD}}} } \right) = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {{\rm{AD}}} \,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \cr
& \overrightarrow {{\rm{AD}}} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {{\rm{AD}}} .\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = \overrightarrow {{\rm{AD}}} .\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {{\rm{AD}}} .\overrightarrow {AB} \,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right) \cr} \)

\(\left( 1 \right) + \left( 2 \right) + \left( 3 \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {C{\rm{D}}}  + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC}  = 0\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\) 

Do đó nếu \(AB \bot CD\) nghĩa là \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {C{\rm{D}}}  = 0\,\,\), \(AC \bot BD\) nghĩa là \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {B{\rm{D}}}  = 0\,\,\)

Từ hệ thức (4) ta suy ra \(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC}  = 0\,\,\), do đó \(A{\rm{D}} \bot BC\).

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Xem lời giải SGK - Toán 11 - Xem ngay

>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.

Bài viết liên quan