Bài 3.5 trang 36 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Giải các phương trình sau

a) \({\cos ^2}x + 2\sin x\cos x + 5{\sin ^2}x = 2\)

b) \(3{\cos ^2}x - 2\sin 2x + {\sin ^2}x = 1\)

c) \(4{\cos ^2}x - 3\sin x\cos x + 3{\sin ^2}x = 1\)

Giải

a) \({\cos ^2}x + 2\sin x\cos x + 5{\sin ^2}x = 2\)

Rõ ràng cosx = 0 không thỏa mãn phương trình. Với cosx ≠ 0, chia hai vế cho cos²x ta được:

\(\eqalign{
& 1 + 2\tan x + 5{\tan ^2}x = 2\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) \cr
& \Leftrightarrow 3{\tan ^2}x + 2\tan x - 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\tan x = - 1 \hfill \cr
\tan x = {1 \over 3} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - {\pi \over 4} + k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr
x = \arctan {1 \over 3} + k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr} \right. \cr} \)

b) \(3{\cos ^2}x - 2\sin 2x + {\sin ^2}x = 1\)

Với cosx = 0 ta thấy hai vế đều bằng 1. Vậy phương trình có nghiệm \(x = {\pi  \over 2} + k\pi ,k \in {\rm Z}\)

Trường hợp cosx ≠ 0, chia hai vế cho cos²x ta được:

\(\eqalign{
& 3 - 4\tan x + {\tan ^2}x = 1 + {\tan ^2}x \cr
& \Leftrightarrow 4\tan x = 2 \cr
& \Leftrightarrow \tan x = {1 \over 2} \cr
& \Leftrightarrow x = \arctan {1 \over 2} + k\pi ,k \in {\rm Z} \cr} \)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = {\pi  \over 2} + k\pi ,k \in {\rm Z}\) và \(x = \arctan {1 \over 2} + k\pi ,k \in {\rm Z}\)

c) \(4{\cos ^2}x - 3\sin x\cos x + 3{\sin ^2}x = 1\)

Rõ ràng cosx ≠ 0, chia hai vế của phương trình cho cos²x ta được:

\(\eqalign{
& 4 - 3\tan x + 3{\tan ^2}x = 1 + {\tan ^2}x \cr
& \Leftrightarrow 2{\tan ^2}x - 3\tan x + 3 = 0 \cr} \)

Phương trình cuối vô nghiệm đối với tanx, do đó phương trình đã cho vô nghiệm