Loigiaihay.com 2021

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Bài 35 trang 43 SBT Hình học 10 Nâng cao

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Bài 35 trang 43 SBT Hình học 10 Nâng cao

Cho điểm \(M\) nằm trong góc \(\widehat {xOy}\) và gọi \(M_1, M_2\) lần lượt là hình chiếu của \(M\) trên \(Ox, Oy.\)

a) Vẽ đường tròn \((C)\) qua \(M_1, M_2\), đường tròn này cắt hai cạnh \(Ox, Oy\) lần lượt ở \(N_1, N_2\). Kẻ đường thẳng vuông góc với \(Ox\) ở \(N_1\) và đường thẳng vuông góc với \(Oy\) ở \(N_2\), giả sử hai đường thẳng đó cắt nhau ở \(N\). Chứng minh \(ON \bot {M_1}{M_2}\).

b) Chứng minh rằng khi \((C)\) thay đổi nhưng vẫn đi qua \(M_1\) và \(M_2\) thì điểm \(N\) luôn thuộc một tia \(Oz\) cố định và \(\widehat {zOy} = \widehat {MO{N_1}}\).

Giải

(h.41).

 

a) Ta có \(\overrightarrow {O{M_1}} .\overrightarrow {O{N_1}}  = \overrightarrow {O{M_2}} .\overrightarrow {O{N_2}} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(*)\)

Xét tích vô hướng

\(\overrightarrow {ON} .\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = \overrightarrow {ON} .\left( {\overrightarrow {O{M_2}}  - \overrightarrow {O{M_1}} } \right)\)

\(= \overrightarrow {ON} .\overrightarrow {O{M_2}}  - \overrightarrow {ON} .\overrightarrow {O{M_1}} .\)

Do \(\overrightarrow {O{N_1}} \) là hình chiếu của \(\overrightarrow {ON} \) trên Ox nên \(\overrightarrow {ON} .\overrightarrow {O{M_1}}  = \overrightarrow {O{N_1}} .\overrightarrow {O{M_1}} .\)

Tương tự \(\overrightarrow {ON} .\overrightarrow {O{M_2}}  = \overrightarrow {O{N_2}} .\overrightarrow {O{M_2}} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(**)\)

Từ (*), (**) suy ra \(\overrightarrow {ON} .\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = 0\) hay \(ON \bot {M_1}{M_2}\).

b) Theo câu a), \(N\) thuộc tia \(Oz\) cố định (vuông góc với \(M_1M_2\)).

Lại có \(\widehat {zOy} = \widehat {{M_1}{M_2}M}\) (do \(Oz \bot {M_2}{M_1}\,,\,\,Oy \bot {M_2}M\)).

Mặt khác, \(OM_1MM_2\) là tứ giác nội tiếp  (\(\widehat {O{M_1}M} = \widehat {O{M_2}M} = {90^0}\)) nên \(\widehat {{M_1}{M_2}M} = \widehat {{M_1}OM}\). Từ đó suy ra \(\widehat {zOy} = \widehat {MO{N_1}}\).

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Bài viết liên quan