Loigiaihay.com 2023

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Bài 3.67 trang 134 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Bình chọn:
4 trên 2 phiếu

Cho mặt phẳng (P): 2x – 3y + 4z – 5 = 0 và mặt cầu (S):x2 + y2 + z2 + 3x + 4y – 5z + 6 = 0

Cho mặt phẳng (P):  2x – 3y  + 4z – 5 = 0 và mặt cầu (S):

                    x2 + y2 + z2 + 3x + 4y – 5z + 6 = 0

a) Xác định tọa độ tâm I và bán kính r của mặt cầu (S).

b) Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P).  Từ đó chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn mà ta kí hiệu là (C). Xác định bán kính r’ và tâm H của đường tròn (C) .

Hướng dẫn làm bài:

a) (S) có tâm \(I( - {3 \over 2}; - 2;{5 \over 2})\) và có bán kính \(r = \sqrt {{9 \over 4} + 4 + {{25} \over 4} - 6}  = {{\sqrt {26} } \over 2}\)

b) \(d(I,(P)) = {{|2.( - {3 \over 2}) - 3.( - 2) + 4.({5 \over 2}) - 5|} \over {\sqrt {4 + 9 + 16} }} = {8 \over {\sqrt {29} }} < {{\sqrt {26} } \over 2}\)

Vậy  d(I, (P)) < r

Suy ra mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn tâm H bán kính r’.

H chính là hình chiếu vuông góc của I xuống mặt phẳng (P). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng qua I và vuông góc với (P). Ta có vecto chỉ phương của  \(\Delta \)  là

\(\overrightarrow {{a_\Delta }}  = \overrightarrow {{n_{(P)}}}  = (2; - 3;4)\)

 Phương trình tham số của  \(\Delta \)  : \(\left\{ {\matrix{{x = - {3 \over 2} + 2t} \cr {y = - 2 - 3t} \cr {z = {5 \over 2} + 4t} \cr} } \right.\)

 \(\Delta \)  cắt (P) tại  \(H( - {3 \over 2} + 2t; - 2 - 3t;{5 \over 2} + 4t)\). Ta có:

\(H \in (\alpha ) \Leftrightarrow  2( - {3 \over 2} + 2t) - 3( - 2 - 3t) + 4({5 \over 2} + 4t) - 5 = 0\)

\( \Leftrightarrow  29t + 8 = 0 \Leftrightarrow  t =  - {8 \over {29}}\)

Suy ra tọa độ \(H( - {3 \over 2} - {{16} \over {29}}; - 2 + {{24} \over {29}};{5 \over 2} - {{32} \over {29}})\)  hay 

Ta có \(r{'^2} = {r^2} - {d^2}(I,(P)) = {{26} \over 4} - {{64} \over {29}} = {{249} \over {58}}\) . Suy ra  \(r' = \sqrt {{{249} \over {58}}} \)

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Xem lời giải SGK - Toán 12 - Xem ngay

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2023 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Bài viết liên quan