Bài 3.67 trang 134 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho mặt phẳng (P):  2x – 3y  + 4z – 5 = 0 và mặt cầu (S):

                    x² + y² + z² + 3x + 4y – 5z + 6 = 0

a) Xác định tọa độ tâm I và bán kính r của mặt cầu (S).

b) Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P).  Từ đó chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn mà ta kí hiệu là (C). Xác định bán kính r’ và tâm H của đường tròn (C) .

Hướng dẫn làm bài:

a) (S) có tâm \(I( - {3 \over 2}; - 2;{5 \over 2})\) và có bán kính \(r = \sqrt {{9 \over 4} + 4 + {{25} \over 4} - 6}  = {{\sqrt {26} } \over 2}\)

b) \(d(I,(P)) = {{|2.( - {3 \over 2}) - 3.( - 2) + 4.({5 \over 2}) - 5|} \over {\sqrt {4 + 9 + 16} }} = {8 \over {\sqrt {29} }} < {{\sqrt {26} } \over 2}\)

Vậy  d(I, (P)) < r

Suy ra mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn tâm H bán kính r’.

H chính là hình chiếu vuông góc của I xuống mặt phẳng (P). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng qua I và vuông góc với (P). Ta có vecto chỉ phương của  \(\Delta \)  là

\(\overrightarrow {{a_\Delta }}  = \overrightarrow {{n_{(P)}}}  = (2; - 3;4)\)

 Phương trình tham số của  \(\Delta \)  : \(\left\{ {\matrix{{x = - {3 \over 2} + 2t} \cr {y = - 2 - 3t} \cr {z = {5 \over 2} + 4t} \cr} } \right.\)

 \(\Delta \)  cắt (P) tại  \(H( - {3 \over 2} + 2t; - 2 - 3t;{5 \over 2} + 4t)\). Ta có:

\(H \in (\alpha ) \Leftrightarrow  2( - {3 \over 2} + 2t) - 3( - 2 - 3t) + 4({5 \over 2} + 4t) - 5 = 0\)

\( \Leftrightarrow  29t + 8 = 0 \Leftrightarrow  t =  - {8 \over {29}}\)

Suy ra tọa độ \(H( - {3 \over 2} - {{16} \over {29}}; - 2 + {{24} \over {29}};{5 \over 2} - {{32} \over {29}})\)  hay 

Ta có \(r{'^2} = {r^2} - {d^2}(I,(P)) = {{26} \over 4} - {{64} \over {29}} = {{249} \over {58}}\) . Suy ra  \(r' = \sqrt {{{249} \over {58}}} \)

Sachbaitap.com