Bài 5 trang 127 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho dãy số

\(\eqalign{
& \left( {{u_n}} \right): \cr
& {\rm{ }}\left\{ \matrix{
{u_1} = {1 \over 3} \hfill \cr
{u_{n + 1}} = {{\left( {n + 1} \right){u_n}} \over {3n}}{\rm{voi }}n \ge 1 \hfill \cr} \right. \cr} \) 

a)      Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b)      Lập dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = {{{u_n}} \over n}\). Chứng minh dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân.

c)      Tìm công thức tính \(\left( {{u_n}} \right)\) theo n.

Giải:

a)      Năm số hạng đầu là \({1 \over 3},{2 \over 9},{1 \over 9},{4 \over {81}},{5 \over {243}}\)

b)      Lập tỉ số \({{{v_{n + 1}}} \over {{v_n}}} = {{{u_{n + 1}}} \over {n + 1}}.{n \over {{u_n}}} = {{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}}.{n \over {n + 1}}\)    (1)

Theo công thứcđịnh nghĩa ta có \({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} = {{n + 1} \over {3n}}\)    (2)

Từ (1) và (2) suy ra \({{{v_{n + 1}}} \over {{v_n}}} = {1 \over 3}\) hay \({v_{n + 1}} = {1 \over 3}{v_n}\)

Vậy, dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân, có \({v_1} = {1 \over 3},q = {1 \over 3}\)

c)      Để tính \(\left( {{u_n}} \right)\), ta viết tích của n - 1 tỉ số bằng \(\,{1 \over 3}\)

\({{{v_n}} \over {{v_{n - 1}}}}.{{{v_{n - 1}}} \over {{v_{n - 2}}}}...{{{v_3}} \over {{v_2}}}.{{{v_2}} \over {{v_1}}} = {\left( {{1 \over 3}} \right)^{n - 1}}\)

Hay \({{{v_n}} \over {{v_1}}} = {\left( {{1 \over 3}} \right)^{n - 1}}\), suy ra \({v_n} = {1 \over 3}{\left( {{1 \over 3}} \right)^{n - 1}} = {1 \over {{3^n}}}\)

Vậy \({u_n} = {n \over {{3^n}}}\)