Bài 5.9 trang 220 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Cho hàm số    \(y = {1 \over 3}{x^3} - (m - 1){x^2} + (m - 3)x + 4{1 \over 2}\)      (m là tham số)                (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 0.

b) Viết phương trình của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm \(A(0;4{1 \over 2})\)

c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) , trục hoành và các đường thẳng x = 0 và x = 2.

d) Xác định m để đồ thị của (1) cắt đường thẳng \(y =  - 3x + 4{1 \over 2}\) tại ba điểm phân biệt.

Hướng dẫn làm bài:

a) \(y = {1 \over 3}{x^3} + {x^2} - 3x + 4{1 \over 2}\)

+) Tập xác định: D = R

+) Sự biến thiên: y’ = x² + 2x – 3

\(y' = 0\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = 1} \cr {x = - 3} \cr} } \right.\)           

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -3) và (1; +∞), nghịch biến trên khoảng (-3; 1).

Hàm số đạt cực đại tại \(x =  - 3;{y_{CD}} = 13{1 \over 2};{y_{CT}} = 2{5 \over 6}\) khi x = 1

Đồ thị cắt trục tung tại điểm \((0;4{1 \over 2})\) và có dạng như hình dưới đây.

\(y’’ = 2x + 2 ; y’’ = 0 \Leftrightarrow  x = -1.\) Vậy là tâm đối xứng của đồ thị.

b) Tiếp tuyến với (C) đi qua \(A(0;4{1 \over 2})\) có phương trình là:\(y = f'(0)x + 4{1 \over 2}\), trong đó \(f(x) = {1 \over 3}{x^3} + {x^2} - 3x + 4{1 \over 2}\)

Ta có   f ’(0) = -3.

Vậy phương trình tiếp tuyến là \(y =  - 3x + 4{1 \over 2}\)

c) \(S = \int\limits_0^2 {({1 \over 3}{x^3} + {x^2} - 3x + 4{1 \over 2})dx = 7} \) (đơn vị diện tích).

d) Hoành độ giao điểm của đường thẳng \(y =  - 3x + 4{1 \over 2}\) với đồ thị của (1) thỏa mãn phương trình

  \({1 \over 3}{x^3} - (m - 1){x^2} + (m - 3)x + 4{1 \over 2} =  - 3x + 4{1 \over 2}\)       (2)

Ta có  \((2)\Leftrightarrow {1 \over 3}{x^3} - (m - 1){x^2} + mx = 0\)

\(\Leftrightarrow  x{\rm{[}}{x^2} - 3(m - 1)x + 3m] = 0\)

Để (2) có ba nghiệm phân biệt thì phương trình f(x) = x²– 3(m – 1)x  + 3m = 0 phải có hai nghiệm phân biệt khác 0, tức là: 

\(\left\{ {\matrix{{f(0) = 3m \ne 0} \cr {\Delta = 9{{(m - 1)}^2} - 12m > 0} \cr} } \right.\Leftrightarrow  \left\{ {\matrix{{m \ne 0} \cr {\left[ {\matrix{{m < {1 \over 3},m \ne 0} \cr {m > 3} \cr} } \right.} \cr} } \right.\).

Sachbaitap.com