Bài 6 trang 39 SBT Hình học 10 Nâng cao

Cho biết \(\sin {15^0} = \dfrac{{\sqrt 6  - \sqrt 2 }}{4}.\)

a) Tính \(\tan15^0\).

b) Chứng minh \(2\sin 15^0\cos 15^0=\sin 30^0\).

Giải

a)

\({\cos ^2}{15^0} = 1 - {\left( {\dfrac{{\sqrt 6  - \sqrt 2 }}{4}} \right)^2}\)

\(= \dfrac{{8 + 2\sqrt {12} }}{{16}}\)

\(= \dfrac{{{{(\sqrt 6 )}^2} + 2\sqrt 6 \sqrt 2  + {{(\sqrt 2 )}^2}}}{{16}}\)

\(= \dfrac{{{{(\sqrt 6  + \sqrt 2 )}^2}}}{{16}}.\)

Do \(15^0<90^0\) nên \(\cos 15^0>0\), suy ra \(\cos {15^0} = \dfrac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{4}.\)

\(\tan {15^0} = \dfrac{{\sin {{15}^0}}}{{\cos {{15}^0}}}\)

\(= \dfrac{{\sqrt 6  - \sqrt 2 }}{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}\)

\(= \dfrac{{{{(\sqrt 6  - \sqrt 2 )}^2}}}{{6 - 2}} = 2 - \sqrt 3 .\)

b)

\(2\sin {15^0}\cos {15^0} \)

\(= 2.\dfrac{{\sqrt 6  - \sqrt 2 }}{4}.\dfrac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{{42}} \)

\(= \dfrac{1}{2} = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in3}}{0^0}\).

Sachbaitap.com