Câu 1.10. Trang 106 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho hình thang ABCD vuông tại A có cạnh đáy AB bằng 6cm, cạnh bên AD bằng 4cm và hai đường chéo vuông góc với nhau. Tính độ dài các cạnh DC, CB và đường chéo DB.

Gợi ý làm bài:

Hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại H. Trong tam giác vuông ABD, ta có:

\({{HD} \over {HB}} ={{HD.BD} \over {HB.BD}} = {{A{D^2}} \over {A{B^2}}} = {{{4^2}} \over {{6^2}}} = {4 \over 9}.\) 

Dễ thấy ∆HDC đồng dạng với ∆HBA nên

\({{DC} \over {AB}} = {{HD} \over {HB}} = {4 \over 9}\) suy ra \(DC = {4 \over 9}.6 = {8 \over 3}\left( {cm} \right)\)

Kẻ đường cao CK của tam giác ABC, dễ thấy \(KB = AB-DC = 6 - {8 \over 3} = {{10} \over 3}.\)

Từ đó \(B{C^2} = K{B^2} + K{C^2} = K{B^2} + A{D^2} = {{100} \over 9} + 16 = {{244} \over 9}\) suy ra \(BC = {{\sqrt {244} } \over 3} = {{2\sqrt {61} } \over 3}\left( {cm} \right)\)

Tam giác vuông ABD có \(D{B^2} = A{B^2} + A{D^2} = {6^2} + {4^2} = 52\), từ đó \(DB = \sqrt {52}  = 2\sqrt {13} \left( {cm} \right)\)

Sachbaitap.com