Câu 1.35 trang 13 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Giải phương trình \(12\cos x + 5\sin x + {5 \over {12\cos x + 5\sin x + 14}} + 8 = 0\)

Giải

Đặt \(y = 12\cos x + 5\sin x + 14\) , ta có phương trình \(y + {5 \over y} - 6 = 0\) . Dễ thấy phương trình này có hai nghiệm là \(y = 1\) và \(y = 5\) . Do đó

\(12\cos x + 5\sin x + {5 \over {12\cos x + 5\sin x + 14}} + 8 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
12\cos x + 5\sin x + 14 = 1 \hfill \cr
12\cos x + 5\sin x + 14 = 5 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
12\cos x + 5\sin x = - 13\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr
12\cos x + 5\sin x = - 9\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr} \right.\)

Chia hai vế của phương trình (1) và (2) cho \(13\left( {13 = \sqrt {{{12}^2} + {5^2}} } \right)\) , gọi \(\alpha \) là số thỏa mãn \(\cos \alpha  = {{12} \over {13}}\) và \(\sin \alpha  = {5 \over {13}}\), ta có :

(1) \( \Leftrightarrow \cos (x - \alpha ) =  - 1 \Leftrightarrow x - \alpha  = \pi  + k2\pi \)

\(\Leftrightarrow x = \alpha  + \pi  + k2\pi \)

(2) \( \Leftrightarrow \cos (x - \alpha ) =  - {9 \over {13}}\)

\(\Leftrightarrow x = \alpha  \pm \arccos \left( { - {9 \over {13}}} \right) + k2\pi \)

sachbaitap.com