Câu 1.39 trang 18 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Tìm các đường tiệm của đồ thị các hàm số sau:

a) \(y = \sqrt {{x^2} - x + 1} \)                b) \(y = x + \sqrt {{x^2} + 2x} \)

c) \(y = \sqrt {{x^2} + 3} \)                       d) \(y = x + {2 \over {\sqrt x }}\)                                

Giải

a) Ta có :                

\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{\sqrt {{x^2} - x + 1} } \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{x\sqrt {1 - {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} } \over x} \)       

      \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \sqrt {1 - {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}}  = 1\)

\(\eqalign{& b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (y - x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - x + 1}  - x} \right)  \cr &  = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{ - x + 1} \over {\sqrt {{x^2} - x + 1}  + x}}  \cr &  = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{ - 1 + {1 \over x}} \over {\sqrt {1 - {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}}  + 1}} =  - {1 \over 2} \cr} \)

Đường thẳng \(y = x - {1 \over 2}\) là tiệm cận xiên của đồ thị (khi \(x \to  + \infty \))

\(\eqalign{& a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{\sqrt {{x^2} - x + 1} } \over x} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{ - x\sqrt {1 - {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} } \over x}  \cr &  = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt {1 - {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} } \right) =  - 1 \cr} \)

\(\eqalign{& b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } (y + x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - x + 1}  + x} \right) \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{ - x + 1} \over {\sqrt {{x^2} - x + 1}  - x}}  \cr &  = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{ - x + 1} \over { - x\sqrt {1 - {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}}  - x}} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{ - 1 + {1 \over x}} \over { - \sqrt {1 - {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}}  - 1}} = {1 \over 2} \cr} \)             

Đường thẳng \(y =- x + {1 \over 2}\) là tiệm cận xiên của đồ thị (khi \(x \to  - \infty \)) (h.1.12)

b) Tiệm cận xiên: y = 2x + 1 (khi \(x \to  + \infty \))

Tiệm cận ngang: y = -1 (khi \(x \to  - \infty \))

c) Tiệm cận xiên: y = x  (khi \(x \to  + \infty \))

Tiệm cận ngang: y = -x (khi \(x \to  - \infty \))

d) Tiệm cận đứng: x = 0 (khi \(x \to {0^ + }\))

Tiệm cận xiên: y = x (khi \(x \to  + \infty \))  (h.1.14)

Sachbaitap.com