Câu 1.49 trang 13 SBT Đại số 10 Nâng cao

Người ra gọi một số hữu tỉ r có dạng \(r = {m \over {{2^n}}}\) là số hữu tỉ nhị phân. Biết rằng trong mỗi khoảng tùy ý đều có ít nhất một số hữu tỉ nhị phân. Chứng minh rằng trong mỗi khoảng bất kì đều có ít nhất 100 số hữu tỉ nhị phân.

Một cách tổng quát chứng minh rằng : Cho một số nguyên dương M lớn hơn tùy ý. Khi đó, trong mỗi khoảng tùy ý đều có ít nhất M số hữu tỉ nhị phân.

Giải:

Giả sử \((a ; b)\) là một khoảng bất kì. Ta chia \((a ; b)\) làm 100 khoảng con rời nhau. Theo nhận xét trên mỗi khoảng con đó đều chứa một số hữu tỉ nhị phân. Các số hữu tỉ nhị phân này khác nhau do các khoảng con không giao nhau. Vậy \((a ; b)\) chứa ít nhất 100 số hữu tỉ nhị phân.

Mở rộng : Ta chia khoảng \((a ; b)\) làm M khoảng con rời nhau. Theo nhận xét trên trong mỗi khoảng con đó đều  có chứa một số hữu tỉ nhị phân. Các số hữu tỉ nhị phân này đều khác nhau do các khoảng con không giao nhau. Vậy \((a ; b)\) chứa ít nhất M số hữu tỉ nhị phân.

Sachbaitap.com