Loigiaihay.com 2025

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Câu 28 trang 119 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Câu 28 trang 119 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

a) Cho tứ diện DABC có các cạnh bằng nhau. Gọi H là hình chiếu của D trên mp(ABC) và I là trung điểm của DH. Chứng minh rằng tứ diện IABC có IA, IB, IC đôi một vuông góc.

b) Cho tứ diện IABC có IA = IB = IC và IA, IB, IC đôi một vuông góc; H là hình chiếu của I trên mp(ABC). Gọi D là điểm đối xứng của H qua I. Chứng minh tứ diện DABC có các cạnh bằng nhau.

Trả lời

 

a) Kí hiệu cạnh của tứ diện đã cho là a, dễ thấy H là trọng tâm của tam giác ABC. Từ đó

\(\eqalign{  & D{H^2} = D{A^2} - A{H^2}  \cr  &  = {a^2} - {\left( {{{a\sqrt 3 } \over 3}} \right)^2} = {{6{{\rm{a}}^2}} \over 9}  \cr  &  \Rightarrow DH = {{a\sqrt 6 } \over 3} \cr} \)

Do I là trung điểm của DH nên

\(IH = {{a\sqrt 6 } \over 6}\)

Khi đó: \(I{M^2} = I{H^2} + H{M^2} = {\left( {{{a\sqrt 6 } \over 6}} \right)^2} + {\left( {{{a\sqrt 3 } \over 6}} \right)^2} = {{{a^2}} \over 4}\),

tức là \(IM = {a \over 2}\).

Xét tam giác IBC có IM là trung tuyến \(IM = {1 \over 2}BC\). Vậy \(IB \bot IC\).

Tương tự như trên, ta có IA, IB, IC đôi một vuông góc.

b) Vì IA, IB, IC đôi một vuông góc, IA = IB = IC và H là hình chiếu của I trên mặt phẳng (ABC) nên ABC là tam giác đều nhận H làm trọng tâm.

Ngoài ra \({1 \over {I{H^2}}} = {1 \over {I{A^2}}} + {1 \over {I{B^2}}} + {1 \over {I{C^2}}} = {3 \over {I{A^2}}}\) hay \(IH = {{IA} \over {\sqrt 3 }}\).

Do D là điểm đối xứng của H qua I nên:

\(DH = {{2IA} \over {\sqrt 3 }}\) và DA = DB = DC.

Đặt IA = x thì \(DH = {{2{\rm{x}}} \over {\sqrt 3 }},AB = x\sqrt 2 \).

Khi đó

\(\eqalign{  & D{A^2} = D{H^2} + H{A^2} = {{4{x^2}} \over 3} + {\left( {{{x\sqrt 2 .\sqrt 3 } \over 3}} \right)^2}  \cr  &  = {{4{{\rm{x}}^2}} \over 3} + {{2{{\rm{x}}^2}} \over 3} = 2{{\rm{x}}^2} \cr} \).

Vậy \(DA = DB = DC = x\sqrt 2 \).

Do đó tứ diện DBCA có các cạnh bằng nhau.

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Xem lời giải SGK - Toán 11 Nâng cao - Xem ngay

>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.

Bài viết liên quan