Câu 30 trang 55 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.

30. Trang 55 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và AB.

a) Hãy xác định điểm \(I \in AC,\,J \in DN\) sao cho IJ//BM.

b) Tính độ dài đoạn thẳng IJ theo a.

Giải

a) Trong mp(BCD), từ D kẻ đường thẳng song song với BM cắt CB tại K. Đường thẳng KN cắt AC tại I. Trong mp(IKD), từ I kẻ đường thẳng song song với DK cắt đường thẳng DN tại J. Khi đó theo cách dựng ta có IJ // BM.

b) Do BM là đường trung bình của tam giác CKD nên

\(KD = 2BM = 2.{{a\sqrt 3 } \over 2} = a\sqrt 3 \)

Gọi H là trung điểm của BC. Khi đó:

\(\eqalign{
& NH//AC \Rightarrow {{NK} \over {NI}} = {{KH} \over {HC}} = {{3HC} \over {HC}} = 3 \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow NK = 3NI \Rightarrow KD = 3IJ \cr} \)

Vậy \(IJ = {1 \over 3}KD = {{a\sqrt 3 } \over 3}\).

sachbaitap.com