Loigiaihay.com 2025

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Câu 3.4 trang 86 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Cho n là một số nguyên dương. Chứng minh rằng

Cho n là một số nguyên dương. Chứng minh rằng

a) \(n\left( {2{n^2} - 3n + 1} \right)\) chia hết cho 6

b) \({11^{n + 1}} + {12^{2n - 1}}\) chia hết cho 133

Giải

a) Bằng phương pháp quy nạp, ta sẽ chứng minh

                                \(n\left( {2{n^2} - 3n + 1} \right) \vdots \,6\)                     (1)

Với mọi \(n \in N^*\)

Với \(n = 1,\) ta có \(n\left( {2{n^2} - 3n + 1} \right) = 0.\) Hiển nhiên \(0\; \vdots\; 6,\) và vì thế (1) đúng khi \(n = 1\)

Giả sử đã có (1) đúng khi \(n = k,k \in {N^ * }\), tức là \(k\left( {2{k^2} - 3k + 1} \right) \;\vdots \;6,\) ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi \(n = k + 1\)

Thật vậy, do \(\left( {k + 1} \right)\left[ {2{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 3\left( {k + 1} \right) + 1} \right] \)

\(= k\left( {2{k^2} - 3k + 1} \right) + 6{k^2}\) nên từ gải thiết quy nạp suy ra \(\left( {k + 1} \right)\left[ {2{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 3\left( {k + 1} \right) + 1} \right] \;\vdots\; 6,\) nghĩa là (1) đúng khi \(n = k + 1\)

Từ các chứng minh trên suy ra (1)  đúng với mọi \(n \in N^*.\)

b) Ta sẽ chứng minh

             \({11^{n + 1}} + {12^{2n - 1}}\; \vdots \;133\)                           (2)

Với mọi \(n \in N^*,\) bằng phương pháp quy nạp.

Với \(n = 1,\) ta có \({11^{n + 1}} + {12^{2n - 1}} = {11^2} + 12 = 133.\) Vì thế (2) đúng khi \(n = 1.\)

Giả sử đã có (2) đúng khi \(n = k,k \in N^*,\) ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi \(n = k + 1\)

Thật vậy ta có

\(\eqalign{
& {11^{(k + 1) + 1}} + {12^{2(k + 1) - 1}}\cr& = 11.\left( {{{11}^{k + 1}} + {{12}^{2k - 1}}} \right) + {12^{2k - 1}}.({12^2} - 11) \cr
& = 11.\left( {{{11}^{k + 1}} + {{12}^{2k - 1}}} \right) + {133.12^{2k - 1}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3) \cr} \)

Mà \({11^{k + 1}} + {12^{2k - 1}}\; \vdots \;133\) (theo giả thiết quy nạp) nên từ (3) suy ra

                                \({11^{(k + 1) + 1}} + {12^{2(k + 1) - 1}} \;\vdots \;133\)

Nghĩa là (2) đúng khi \(n = k + 1\)

Từ các chứng minh trên suy ra (2) đúng với mọi \(n \in N^*\)

sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Xem lời giải SGK - Toán 11 Nâng cao - Xem ngay

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.

Bài viết liên quan