Câu 3.7 trang 86 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho số nguyên \(n \ge 2\) và cho số thực \({a_1},{a_2},...,{a_n}\) thuộc khoảng \(\left( {0;1} \right)\). Chứng minh rằng

\(\left( {1 - {a_1}} \right)\left( {1 - {a_2}} \right)...\left( {1 - {a_n}} \right) > 1 - {a_1} - {a_2} - ... - {a_n}\)

Giải

Ta sẽ giải bài toán bằng phương pháp quy nạp

Kí hiệu bất đẳng thức cần chứng minh theo yêu cầu của đề bài bởi (1)

Với \(n = 2,\) xét hai số thực túy ý \({a_1},{a_2} \in \left( {0;1} \right)\) ta có

\(\left( {1 - {a_1}} \right)\left( {1 - {a_2}} \right) \)

\(= 1 - {a_1} - {a_2} + {a_1}{a_2} > 1 - {a_1} - {a_2}\) (do \({a_1},{a_2} > 0\) )

Như thế, (1) đúng khi \(n = 2\)

Giả sử đã có (1) đúng khi \(n = k,k \in N^*\) và \(k \ge 2,\)

Xét \(k + 1\) số thực tùy ý \({a_1},{a_2},...,{a_k},{a_{k + 1}}\) thuộc khoảng \(\left( {0;1} \right)\)

Vì k số \({a_1},{a_2},...,{a_k}\) thuộc khoảng \(\left( {0;1} \right)\) nên theo giả thiết quy nạp ta có

\(\left( {1 - {a_1}} \right)\left( {1 - {a_2}} \right)...\left( {1 - {a_k}} \right) > 1 - {a_1} - {a_2} - ... - {a_k}\)

Từ đó, vì \(1 - {a_{k + 1}} > 0,\) suy ra

\(\left( {1 - {a_1}} \right)\left( {1 - {a_2}} \right)...\left( {1 - {a_k}} \right)\left( {1 - {a_{k + 1}}} \right) >\)

\(\left( {1 - {a_1} - {a_2} - ... - {a_k}} \right)\left( {1 - {a_{k + 1}}} \right)\)                 (2)

Lại có

\(\eqalign{
& \left( {1 - {a_1} - {a_2} - ... - {a_k}} \right)\left( {1 - {a_{k + 1}}} \right) \cr
& = 1 - {a_1} - {a_2} - ... - {a_k} - {a_{k + 1}} \cr&+ \left( {1 - {a_1} - {a_2} - ... - {a_k}} \right){a_{k + 1}} \cr
& > 1 - {a_1} - {a_2} - ... - {a_k} - {a_{k + 1}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3) \cr} \)

Từ (2) và (3) ta được

\(\left( {1 - {a_1}} \right)\left( {1 - {a_2}} \right)...\left( {1 - {a_k}} \right)\left( {1 - {a_{k + 1}}} \right) > \)

\(1 - {a_1} - {a_2} - ... - {a_k} - {a_{k + 1}}\)

Như vậy (1) cũng đúng khi \(n = k + 1\)

Từ các chứng minh trên suy ra có điều cần chứng minh theo yêu cầu của để bài.

sachbaitap.com