Câu 3.64 trang 69 SBT Đại số 10 Nâng cao

Cho hai phương trình \({x^2} - 5x + k = 0\,\left( 1 \right)\) và \({x^2} - 7x + 2k = 0\,\left( 2 \right)\)

a. Với giá trị nào của k thì phương trình (1) có hai nghiệm và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia ?

b. Với giá trị nào của k thì phương trình (2) có hai nghiệm \(x_1\) và \(x_2\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 25\,?\)

c. Với giá trị nào của k thì cả hai phương trình cùng có nghiệm và một trong các nghiệm của phương trình (2) gấp đôi một trong các nghiệm của phương trình (1) ?

Giải:

a. Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm là \({\Delta _1} = 25 - 4k \ge 0.\) Với điều kiện đó, gọi hai nghiệm của (1) là \(x_1\) và \(x_2\). Theo điều kiện của đề bài, ta có :

\(\left\{ \matrix{{x_1} + {x_2} = 5 \hfill \cr {x_1}{x_2} = k \hfill \cr {x_2} = 2x_1 \hfill \cr} \right.\)

Từ đó suy ra \(k = \dfrac{{50}}{9}.\) Khi đó, (1) có hai nghiệm là \({x_1} = \dfrac{5}{3}\) và \({x_2} = \dfrac{{10}}{3}\)

Chú ý. Trong mỗi lời giải trên, ta nên lựa chọn cách đánh số các nghiệm sao cho “nghiệm này gấp đôi nghiệm kia” được thể hiện bởi hệ thức \(x_2 = 2x\). Nếu không lựa chọn cách đánh số các nghiệm như vậy thì điều kiện “nghiệm này gấp đôi nghiệm kia” được diễn tả bởi hệ thức \(\left( x_1 - 2x_2 \right)\left( x_2 - 2 x_1 \right) = 0.\)

b. Điều kiện để phương trình (2) có nghiệm là \({\Delta _2} = 49 - 8k \ge 0.\) Với điều kiện đó, gọi hai nghiệm của (1) là x₃ và x₄. Theo điều kiện của đề bài ta có :

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_3} + {x_4} = 7}\\{{x_3}{x_4} = 2k}\\{x_3^2 + {\rm{x}}_4^2 = 25}\end{array}} \right.\)

Từ đó suy ra \(k = 6\). Khi đó, (2) có nghiệm là \(x_3=3\) và \(x_4=4\).

c. Điều kiện để hai phương trình có nghiệm là \({\Delta _1} \ge 0\) và \({\Delta _2} \ge 0,\) tức là \(k \le \dfrac{{49}}{8}.\) Với cùng kí hiệu như trên, theo đề bài ta có hệ :

\(\left\{ {\matrix{{{x_1} + {x_2} = 5} \cr {{x_1}{x_2} = k} \cr {{x_3} + {x_4} = 7} \cr {{x_3}{x_4} = 2k} \cr {2{x_1} = {x_3}} \cr} } \right.\)

Từ đó ta có hai kết quả sau :

• k = 0. Khi đó phương trình (1) có hai nghiệm là \(x_1=0\) và \(x_2=5\), phương trình (2) có hai nghiệm \(x_3=4\) và \(x_4=7\) (thỏa mãn điều kiện của bài toán vì \(x_3=2x_1\)).

• k = 6. Khi đó phương trình (1) có hai nghiệm \(x_1=2\) và \(x_2=3\), phương trình (2) có hai nghiệm \(x_3=4\) và \(x_4=3\) (thỏa mãn điều kiện của bài toán vì \(x_3=2x_1\)).

Sachbaitap.com