Xem thêm: Ôn tập chương III - Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân
Cho dãy số \(({u_n})\) xác định bởi \({u_1} = 1\) và \({u_{n + 1}} = \sqrt {u_n^2 + 2} \) với mọi \(n \ge 1.\)
a) Chứng minh rằng dãy số \(({u_n})\), mà \({v_n} = u_n^2\) với mọi \(n \ge 1,\) là một cấp số cộng. Hãy xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó.
b) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số \(({u_n})\).
c) Tính tổng \(S = u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + .... + u_{1001}^2.\)
Giải
a) Từ hệ thức xác định dãy số \(({u_n})\) suy ra với mọi \(n \ge 1\)
\(u_{n + 1}^2 = u_n^2 + 2,\) hay \({v_{n + 1}} = {v_n} + 2.\)
Do đó, dãy số \(({v_n})\) là một cấp số cộng với số hạng đầu \({v_1} = u_1^2 = 1\) và công sai \(d = 2.\)
b) Từ định nghĩa dãy số \(({u_n})\) và dãy số \(({v_n})\) dễ dàng suy ra \({u_n} > 0\) và \({v_n} > 0\) với mọi \(n \ge 1.\) Từ đó, ta có \({u_n} = \sqrt {{v_n}} \) với mọi \(n \ge 1.\)
Từ kết quả phần a) suy ra : \({v_n} = 1 + \left( {n - 1} \right).2 = 2n - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {\forall n \ge 1} \right).\) Vì thế
\({u_n} = \sqrt {2n - 1} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(\forall n \ge 1).\)
c) \(S = u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + .... + u_{1001}^2\)
\( = {v_1} + {v_2} + {v_3} + ... + {v_{1001}} \)
\(= {{1001.\left( {2.1 + \left( {1001 - 1} \right).2} \right)} \over 2} = 1002001.\)
Sachbaitap.com
>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Bài viết liên quan
Các bài khác cùng chuyên mục