Câu 3.75 trang 97 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho dãy số \(({u_n})\) xác định bởi 

    \({u_1} = 1\) và \({u_{n + 1}} = {u_n} + 2n - 1\) với mọi \(n \ge 1.\)

Xét dãy số \(({v_n}),\) mà \({v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}\) với mọi \(n \ge 1.\)

a) Chứng minh rằng dãy số \(({v_n})\) là một cấp số cộng. Hãy xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó

b) Cho số nguyên dương N, hãy tính tổng N số hạng đầu tiên của dãy số \(({v_n})\) theo N. Từ đó, hãy suy ra số hạng tổng quát của dãy số \(({u_n})\).

Giải

a) Từ hệ thức xác định dãy số \(({u_n})\) suy ra \({u_{n + 1}} - {u_n} = 2n - 1\) với mọi \(n \ge 1.\)

Do đó

                    \({v_n} = 2n - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {\forall n \ge 1} \right).\)

Suy ra \({v_{n + 1}} - {v_n} = (2(n + 1) - 1) - (2n - 1) = 2\) với mọi \(n \ge 1.\) Vì thế, \(({v_n})\) là một cấp cộng với số hạng đầu \({v_1} = 1\) và công sai bằng 2.

b) Kí hiệu \({S_N}\) là tổng N số hạng đầu tiên của dãy số \(({v_n})\). Từ kết quả phần a) , ta có

               \({S_N} = {{N.\left( {2.1 + \left( {N - 1} \right).2} \right)} \over 2} = {N^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\)

Mặt khác, bằng cách tương tự như lời giải phần a) bài tập 3.76, ta chứng minh được

                \({S_n} = {u_{N + 1}} - {u_1}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {\forall N \ge 1} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) , ta được : \({u_{N + 1}} - {u_1} = {N^2},\,\) hay \({u_{N + 1}} = {N^2} + {u_1} = {N^2} + 1\left( {\forall N \ge 1} \right).\,\) Từ đó, số hạng tổng quát của dẫy số \(({u_n})\) là : \({u_n} = {\left( {n - 1} \right)^2} + 1 = {n^2} - 2n + 2\,.\)

Sachbaitap.com