Câu 3.79 trang 99 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho dãy số \(({u_n})\) xác định bởi

         \({u_1} = 1\) và \({u_{n + 1}} = 6{u_n} - 1\)  với mọi \(n \ge 1.\)

 a) Chứng minh dãy số \(({v_n}),\) mà \({v_n} = {u_n} - {1 \over 5}\) với mọi \(n \ge 1,\) là một cấp số nhân. Hãy xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó.

b) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số \(({u_n})\).

c) Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy số \(({u_n})\).

Giải

a) Từ hệ thức xác định dãy số \(({u_n})\), ta có \({u_{n + 1}} - {1 \over 5} = 6\left( {{u_n} - {1 \over 5}} \right)\) với mọi \(n \ge 1,\) hay

                      \(\forall n \ge 1,{v_{n + 1}} = 6{v_n}\)

Vì thế, dãy số \(({v_n})\) là một cấp số nhân với số hạng đầu \({v_1} = {u_1} - {1 \over 5} = 1 - {1 \over 5} = {4 \over 5}\) và công bội \(q = 6.\)

b) Từ kết quả phần a) suy ra với mọi \(n \ge 1\)

\(\eqalign{
& {v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}} = {{{{4.6}^{n - 1}}} \over 5}; \cr
& {u_n} = {v_n} + {1 \over 5} = {{{{4.6}^{n - 1}} + 1} \over 5}. \cr} \)

c) Kí hệu \({T_{10}}\) là tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy số \(({u_n})\) và \({S_{10}}\) là tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân \(({v_n})\). Ta có

\({T_{10}} = {S_{10}} + 10 \times {1 \over 5} = {4 \over 5} \times {{1 - {6^{10}}} \over {1 - 6}} + 2 = 9674590.\)

Sachbaitap.com