Câu 42 trang 174 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Độ dài các cạnh của một tam giác ABC vuông tại A, thỏa mãn các hệ thức sau:

BC = AB + 2a   (1)

\(AC = {1 \over 2}\left( {BC + AB} \right)\) (2)

a là một độ dài cho trước

a) Tính theo a, độ dài các cạnh và chiều cao AH của tam giác

b) Tam giác ABC nội tiếp được trong nửa hình tròn tâm O. Tính diện tích của phần thuộc nửa đường tròn nhưng ở ngoài tam giác đó

c) Cho tam giác ABC quay một vòng quanh cạnh huyền BC. Tính tỉ số diện tích giữa các phần do các dây cung AB và AC tạo ra

Giải

a) Đặt độ dài cạnh AB = x; điều kiện: x > 0

Theo bài ra theo điều (1) ta có: BC = x + a  (3)

Từ (2) và (3) \( \Rightarrow AC = {1 \over 2}\left( {x + 2a + x} \right) = x + a\)

\(\Delta ABC\) vuông tại A, theo định lí Pitago ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\)

\(\eqalign{
& \Rightarrow {\left( {x + 2a} \right)^2} = {x^2} + {\left( {x + a} \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + 4ax + 4{a^2} = {x^2} + {x^2} + 2ax + {a^2} \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - 2ax - 3{a^3} = 0 \cr
& \Delta = {\left( { - 2a} \right)^2} - 4.1\left( { - 3{a^2}} \right) = 4{a^2} + 12{a^2} = 16{a^2} > 0 \cr
& \Rightarrow \sqrt \Delta = \sqrt {16{a^2}} = 4a \cr
& {x_1} = {{2a + 4a} \over {2.1}} = {{6a} \over 2} = 3a \cr
& {x_2} = {{2a - 4a} \over {2.1}} = - a \cr} \)

Vì x > 0 \( \Rightarrow {x_2} =  - a\)  (loại)

Vậy cạnh AB = 3a; AC = 3a + a = 4a; BC = 3a + 2a =5a

AH.BC = AB.AC

\( \Rightarrow {\rm A}{\rm H} = {{AB.AC} \over {BC}} = {{3a.4a} \over {5a}} = {{12a} \over 5}\)

b) Diện tích của \(\Delta ABC\):

\({S_1} = {1 \over 2}AB.AC = {1 \over 2}.3a.4a = 6{a^2}\) (đơn vị diện tích)

\(\Delta ABC\) nội tiếp trong (O) bán kính đường tròn: \(R = {{BC} \over 2} = {{5a} \over 2}\)

Diện tích nửa hình tròn: \({S_2} = {1 \over 2}\pi .{r^2} = {1 \over 2}\pi .{\left( {{{5a} \over 2}} \right)^2} = {{25\pi {a^2}} \over 8}\)

Phần diện tích nửa hình tròn nằm ngoài tam giác:

\(S = {S_2} - {S_1} = {{25\pi {a^2}} \over 8} - 6{a^2} = {{{a^2}} \over 8}\left( {25\pi  - 48} \right)\)

c) Khi quay \(\Delta ABC\) một vòng quanh cạnh BC thì AB và AC vạch nên hai hình nón có bán kính đáy là AH.

Diện tích phần do dây cung AB tạo ra: 

\({S_1} = \pi .AH.AB = \pi .AH.3a\)

Diện tích phần do dây cung cung AC tạo ra

\(\eqalign{
& {S_2} = \pi .AH.AC = \pi AH.3a \cr
& {{{S_1}} \over {{S_2}}} = {{\pi .AH.3a} \over {\pi .AH.4a}} = {3 \over 4} \cr} \)

Sachbaitap.com