Câu 4.21 trang 207 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

a) Cho số phức z. Chứng minh rằng z là số thực khi và chỉ khi \(z = \bar z\)

b) Chứng tỏ rằng số phức sau là một số thực: \(z =  - {{3 + 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2  + 3i}} + {{ - 3 + 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2  - 3i}}\)

Hướng dẫn làm bài

a) Hiển nhiên \(z \in R\) thì \(z = \bar z\) . Ngược lại, giả sử z = a + bi và \(z = \bar z\). Từ đó suy ra

a + bi = a – bi và do đó b = - b hay b = 0.

Vậy \(z \in R\) 

b) Ta có  \(z = {{ - 3 - 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2  + 3i}} + {{ - 3 + 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2  - 3i}}\),

suy ra \(\bar z = \overline {({{ - 3 - 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2  + 3i}} + {{ - 3 + 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2  - 3i}})}  = \overline {({{ - 3 - 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2  + 3i}})}  + \overline {({{ - 3 + 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2  - 3i}})} \)\( = \overline {{{ - 3 - 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2  + 3i}}}  + \overline {{{ - 3 + 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2  - 3i}}}  = {{ - 3 + 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2  - 3i}} + {{ - 3 - 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2  + 3i}} = z\)

Vậy \(z \in R\).

Sachbaitap.com