Câu 45* trang 163 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Vẽ đường tròn (O) có đường kính AH. Chứng minh rằng:

a)      Điểm E nằm trên đường tròn(O);

b)      DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Giải:

a) Gọi O là trung điểm của AH

Tam giác AEH vuông tại E có EO là đường trung tuyến nên:

\( EO = OA = OH ={{AH} \over 2}\) (tính chất tam giác vuông)

Vậy điểm E nằm trên đường tròn \(\left( {O;{{AH} \over 2}} \right)\)

b) Ta có: OH = OE

suy ra tam giác OHE cân tại O

suy ra: \(\widehat {OEH} = \widehat {OHE}\)                      (1)

Mà \(\widehat {BHD} = \widehat {OHE}\) (đối đỉnh)            (2)

Trong tam giác BDH ta có:

\(\widehat {HDB} = 90^\circ \)

Suy ra: \(\widehat {HBD} + \widehat {BHD} = 90^\circ \)            (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:

\(\widehat {OEH} + \widehat {HBD} = 90^\circ \)                          (4)

Tam giác ABC cân tại A có AD ⊥ BC nên BD = CD

Tam giác BCE vuông tại E có ED là đường trung tuyến nên:

\(ED = BD = {{BC} \over 2}\) (tính chất tam giác vuông).

Suy ra tam giác BDE cân tại D

Suy ra: \(\widehat {BDE} = \widehat {DEB}\)                               (5)

Từ (4) và (5) suy ra: \(\widehat {OEH} + \widehat {DEB} = 90^\circ \) hay \(\widehat {DEO} = 90^\circ \)

Suy ra: DE ⊥ EO. Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn ((O).

Sachbaitap.com