Loigiaihay.com 2021

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Câu 4.9 trang 103 SBT Đại số 10 Nâng cao

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Câu 4.9 trang 103 SBT Đại số 10 Nâng cao.

a. Chứng minh rằng, với mọi số nguyên dương k ta đều có

\(\dfrac{1}{{\left( {k + 1} \right)\sqrt k }} < 2\left( {\dfrac{1}{{\sqrt k }} - \dfrac{1}{{\sqrt {k + 1} }}} \right)\)

b. Áp dụng. Chứng minh rằng

\(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{3\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{4\sqrt 3 }} + ... + \dfrac{1}{{\left( {n + 1} \right)\sqrt n }} < 2.\)

Giải:

a. Ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{\left( {k + 1} \right)\sqrt k }} = \dfrac{{\sqrt k }}{{\left( {k + 1} \right)k}} = \sqrt k \left( {\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{{k + 1}}} \right)\\ = \sqrt k \left( {\dfrac{1}{{\sqrt k }} + \dfrac{1}{{\sqrt {k + 1} }}} \right)\left( {\dfrac{1}{{\sqrt k }} - \dfrac{1}{{\sqrt {k + 1} }}} \right)\\ = \left( {1 + \dfrac{{\sqrt k }}{{\sqrt {k + 1} }}} \right)\left( {\dfrac{1}{{\sqrt k }} - \dfrac{1}{{\sqrt {k + 1} }}} \right) < 2\left( {\dfrac{1}{{\sqrt k }} - \dfrac{1}{{\sqrt {k + 1} }}} \right)\end{array}\)

b.

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{3\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{4\sqrt 3 }} + ... + \dfrac{1}{{\left( {n + 1} \right)\sqrt n }} < 2\left( {1 - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 4 }} + ... + \dfrac{1}{{\sqrt n }} - \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} }}} \right)\\ = 2\left( {1 - \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} }}} \right) < 2\end{array}\)

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Bài viết liên quan