Câu 51 trang 164 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax,By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi M là điểm bất kì thuộc tia Ax. Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt By ở N.

a)      Tính số đo góc MON.

b)      Chứng minh rằng MN = AM  + BN.

c)      Chứng minh rằng AM.BN = R² (R là bán kính của nửa đường tròn).

Giải:

a) Gọi I là tiếp điểm của tiếp tuyến MN với đường tròn (O). Nối  OI.

Ta có:  \(\widehat {AOI} + \widehat {BOI} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

              OM là tia phân giác cảu góc AOI (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

              ON là tia phân giác của góc BOI (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra: OM ⊥ ON (tính chất hai góc kề bù)

Vậy \(\widehat {MON} = 90^\circ \)

b) Ta có:  MA = MI (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

NB = NI (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà:        MN = MI + IN

Suy ra:   MN = AM + BN

c) Tam giác OMN vuông tại O có OI ⊥ MN (tính chất tiếp tuyến) theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

\(O{I^2} = MI.NI\)

Mà:                  MI = MA, NI = NB (chứng minh trên)

Suy ra:             \(AM.BN = O{I^2} = {R^2}\).

Sachbaitap.com