Câu 5.13 trang 180 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho hàm số

                        \(f\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + mx - 3\)

Tìm m để

a) \(f'\left( x \right)\)  bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất;

b) \(f'\left( x \right) \ge 0\) với mọi x;

c) \(f'\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in \left( {0;2} \right)\)  

d) \(f'\left( x \right) > 0\) với mọi \(x > 0\)

Giải

Với mọi \(x \in R,\) ta có

                        \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 4x + m\)

a) Để \(f'(x)\) bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất ta phải tìm m sao cho \(f'(x)\) phải là tam thức bậc hai \(a{x^2} + bx + c\) với hệ số \(a > 0\) và có nghiệm kép, tức là

\(\left\{ \matrix{a = 3 > 0 \hfill \cr\Delta ' = 4 - 3m = 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow m = {4 \over 3}\)

b) Để \(f'\left( x \right) \ge 0\) với mọi x thì ta phải tìm m sao cho

\(\left\{ \matrix{a = 3 > 0 \hfill \cr\Delta ' = 4 - 3m \le 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow m \ge {4 \over 3}\)

c) (h.5.4) Để \(f'\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in \left( {0;2} \right)\) thì ta phải tìm m sao cho số 0 và số 2 thuộc đoạn \(\left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) (\({x_1}\) và \({x_2}\) là hai nghiệm của của \(f'(x)\)) tức là

\(\eqalign{& \left\{ \matrix{af'\left( 0 \right) \le 0 \hfill \cr af'\left( 2 \right) \le 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{3.m \le 0 \hfill \cr3\left( {4 + m} \right) \le 0 \hfill \cr}  \right.  \cr& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow m \le  - 4. \cr} \)

d) Để \(f'\left( x \right) > 0\) với mọi \(x > 0\) thì ta phải xét hai trường hợp sau đây

\( \bullet \) Trường hợp thứ nhất (h.5.5a)

Ta phải tìm \(m\)  sao cho tam thức bậc hai \(f'\left( x \right)\) vô nghiệm và có \(a > 0,\) tức là

\(\left\{ \matrix{a = 3 > 0 \hfill \cr\Delta ' = 4 - 3m < 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow m > {4 \over 3}.\)

\( \bullet \) Trường hợp thứ hai (h.5.5b)

Ta phải tìm \(m\) sao cho tam thức bậc hai \(f'\left( x \right)\) có \(a > 0\) đồng thời có hai nghiệm \({x_1}\) và \({x_2}\) thỏa mãn các điều kiện \({x_1} \le {x_2} \le 0\), tức là

\(\left\{ \matrix{a = 3 > 0 \hfill \cr\Delta ' = 4 - 3m \ge 0 \hfill \cr af'\left( 0 \right) = 3m \ge 0 \hfill \cr{S \over 2} - 0 = {2 \over 3} \le 0\,\,\,\,\,\,\left( \text{ loại } \right) \hfill \cr}  \right.\)

Hệ vô nghiệm.

Chú ý. Về nguyên tắc phải xét hai trường hợp, dù trong bài này trường hợp thứ hai vô nghiệm.

Sachbaitap.com