Loigiaihay.com 2025

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Câu 5.34 trang 184 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây thỏa m,ãn hệ thức tương ứng đã chỉ ra

Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây thỏa m,ãn hệ thức tương ứng đã chỉ ra

a) \(y = {\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)^3};\left( {1 + {x^2}} \right)y'' + xy' - 9y = 0\)

b) \(y = 2\sin 2x;{y^{\left( {2n} \right)}} = {\left( { - 1} \right)^n}{2^{2n}}y\)

Giải

a) 

\(\eqalign{
& y' = 3{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)^2}.\left[ {1 + {x \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right] \cr
& y'' = 6\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right).\left[ {1 + {x \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right] \cr&+ 6\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right).\left[ {1 + {x \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right].{x \over {\sqrt {{x^2} + 1} }} \cr&+ 3{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)^2}.{1 \over {\left( {{x^2} + 1} \right).\sqrt {{x^2} + 1} }} \cr} \)

Do đó: \(\left( {1 + {x^2}} \right)y'' + xy' - 9y = 0\)

b) Ta có

\(\eqalign{& y' = 2\cos 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,y'' =  - {2^2}\sin 2x  \cr& y''' =  - {2^3}\cos 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{y^{\left( 4 \right)}} = {2^4}\sin 2x  \cr& {y^{\left( 5 \right)}} = {2^5}\cos 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{y^{\left( 6 \right)}} =  - {2^6}\sin 2x  \cr& {y^{\left( 7 \right)}} =  - {2^7}\sin 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{y^{\left( 8 \right)}} = {2^8}\sin 2x  \cr& ... \cr} \)

Bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chứng minh được

                        \({y^{\left( {2n} \right)}} = {\left( { - 1} \right)^n}{2^{2n}}\sin 2x = {\left( { - 1} \right)^n}{2^{2n}}y\)

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Xem lời giải SGK - Toán 11 Nâng cao - Xem ngay

>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.

Bài viết liên quan