Loigiaihay.com 2024

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Câu 62 trang 126 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Câu 62 trang 126 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi. \(\widehat A = {120^0},B{\rm{D}} = a\), cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng đáy là 60°. Tính:

a) Đường cao của hình chóp.

b) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCB).

Trả lời

 

a) Vì ABCD là hình thoi và \(\widehat {BA{\rm{D}}} = {120^0}\) nên ABC là tam giác đều. Gọi I là trung điểm của BC thì \(BC \bot \left( {AIS} \right)\).

Mặt khác SAI là tam giác vuông tại A nên \(\widehat {SIA}\) là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng đáy (ABCD). Theo giả thiết \(\widehat {SIA} = {60^0}\).

Ta có \(B{{\rm{D}}^2} + A{C^2} = 4{\rm{A}}{B^2}\).

mà AC = AB nên

\(AB = {{B{\rm{D}}} \over {\sqrt 3 }} = {a \over {\sqrt 3 }} \Rightarrow AI = {a \over {\sqrt 3 }}.{{\sqrt 3 } \over 2} = {a \over 2}\).

Vì \(SA \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\) nên SA là đường cao của hình chóp S.ABCD. Ta có :

\(SA = AI.\tan {60^0}\).

Vậy  \(SA = {a \over 2}\sqrt 3 \).

b) Ta có \(BC \bot \left( {SAI} \right)\), từ đó \(\left( {SAI} \right) \bot \left( {SBC} \right)\). Vậy nếu kẻ đường cao AH của tam giác SAI thì AH là khoảng cách từ A đến mp(SBC). Xét tam giác vuông SAI ta có:

\(AH = {{SA.AI} \over {SI}} = {{{{a\sqrt 3 } \over 2}.{a \over 2}} \over {\sqrt {{{3{{\rm{a}}^2}} \over 4} + {{{a^2}} \over 4}} }} = {{a\sqrt 3 } \over 4}.\)

Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCB) bằng \({{a\sqrt 3 } \over 4}\).

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Xem lời giải SGK - Toán 11 Nâng cao - Xem ngay

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Bài viết liên quan