Câu 63* trang 166 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D. Chứng minh rằng:

\({S_{ABC}} = BD.DC\)

Giải:

Gọi E và F lần lượt là tiếp điểm của đường

 tròn với AB và AC.

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

  AE = AF

  BE = BD

  CD = CF

  BD = BC - CD

  BE = AB – AE

Suy ra: BD + BE = AB + BC – (AE + CD )

                             = AB + BC – (AE + CE)

                             = AB + BC – AC

Suy ra: \(BD = {{AB + BC - AC} \over 2}\)

Lại có: CD = BC – BD

            CF = AC = AF

Suy ra: CD + CF = BC + AC – ( BD + AF)

                             = BC + AC – (BE + AE)

                             = BC + AC – BA

Suy ra: \(CD = {{BC + AC - AB} \over 2}\)

Ta có:  \(BD.CD = {{AB + BC - AC} \over 2}.{{BC + AC - AB} \over 2}\)

      \(= {{\left[ {BC - (AC - AB)} \right]\left[ {BC + (AC - AB)} \right]} \over 4}\)

      \(={{B{C^2} - {{(AC - AB)}^2}} \over 4} = {{B{C^2} - A{C^2} - A{B^2} + 2AB.AC} \over 4}\)                    (1)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:

            BC² = AB² + AC²           (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(BD.CD = {{2AB.AC} \over 4} = {{AB.AC} \over 2}\)

Mà \({S_{ABC}} = {1 \over 2}AB.AC\)

Vậy \({S_{ABC}} = BD.DC.\)

Sachbaitap.com