Câu 6.50 trang 205 SBT Đại số 10 Nâng cao

Giả sử các biểu thức sau có nghĩa, chứng minh rằng:

a) \(\tan \alpha  = \dfrac{{\sin \alpha  + \sin 2\alpha }}{{1 + \cos \alpha  + \cos 2\alpha }};\)

b) \({\tan ^2}\alpha  = \dfrac{{2\sin 2\alpha  - \sin 4\alpha }}{{2\sin 2\alpha  + \sin 4\alpha }}\).

Giải:

a)

\(\begin{array}{l}\dfrac{{\sin \alpha  + \sin 2\alpha }}{{1 + \cos \alpha  + \cos 2\alpha }} = \dfrac{{\sin \alpha \left( {1 + 2\cos \alpha } \right)1}}{{1 + \cos \alpha  + 2{{\cos }^2}\alpha  - 1}}\\ = \dfrac{{\sin \alpha \left( {1 + 2\cos \alpha } \right)}}{{\cos \alpha \left( {1 + 2\cos \alpha } \right)}} = \tan \alpha \end{array}\)

b)

\(\begin{array}{l}\dfrac{{2\sin 2\alpha  - \sin 4\alpha }}{{2\sin 2\alpha  + \sin 4\alpha }} = \dfrac{{2\sin 2\alpha \left( {1 - \cos 2\alpha } \right)}}{{2\sin 2\alpha \left( {1 + \cos \alpha } \right)}}\\ = \dfrac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = {\tan ^2}\alpha .\end{array}\)

Sachbaitap.com