Loigiaihay.com 2025

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Câu 71 trang 16 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Câu 71 trang 16 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Cho phéo vị tự V tâm O, tỉ số k ≠ 1 và phép tịnh tiến T theo vectơ \(\overrightarrow v  \ne \overrightarrow 0 \) . Gọi F là phép hợp thành của V và T.

a) Tìm điểm I sao cho F biến I thành chính nó.

b) Chứng minh rằng F là phép vị tự tâm I tỉ số k

Trả lời:

a) Với điểm M bất kì, nếu V biến M thành M’ và T biến M’ thành M” thì F biến M thành M”. Bởi vậy F biến điểm I thành điểm I nếu V biến I thành I’ và T biến I’ thành I, khi đó \(\overrightarrow {OI'}  = k\overrightarrow {OI} \) và \(\overrightarrow {I'I}  = \overrightarrow v .\)

Từ đó, suy ra \(\overrightarrow {OI}  - \overrightarrow {OI'}  = \overrightarrow v  \Leftrightarrow \overrightarrow {OI}  - k\overrightarrow {OI}  = \overrightarrow v  \Leftrightarrow \overrightarrow {OI}  = {{\overrightarrow v } \over {1 - k}}\)

Vậy điểm I hoàn toàn xác định.

b) Với điểm M bất kì, nếu V biến M thành M’ thì \(\overrightarrow {OM'}  = k\overrightarrow {OM} \) , nếu T biến M’ thành M” thì \(\overrightarrow {M'M''}  = \overrightarrow v \) . Từ đó, suy ra \(\overrightarrow {OM'}  = k\overrightarrow {OM} \)

\(\eqalign{  &  \Rightarrow \overrightarrow {IM'}  - \overrightarrow {I{\rm{O}}}  = k\left( {\overrightarrow {IM}  - \overrightarrow {I{\rm{O}}} } \right)  \cr  &  \Rightarrow \overrightarrow {IM'}  + \overrightarrow {OI} \left( {1 - k} \right) = k\overrightarrow {IM}  \cr} \)              (*)

Nhưng từ biểu thức xác định I ta có \(\overrightarrow {OI} \left( {1 - k} \right) = \overrightarrow v \).

Ngoài ra, vì \(\overrightarrow {M'M''}  = \overrightarrow v \) nên \(\overrightarrow {IM''}  - \overrightarrow {IM'}  = \overrightarrow v \) hay \(\overrightarrow {IM'}  = \overrightarrow {IM''}  - \overrightarrow v \).

Vậy đẳng thức (*) trở thành \(\overrightarrow {IM''}  = k\overrightarrow {IM} \).

Do đó, phép F biến M thành M” chính là phép vị tự tâm I tỉ số k.

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Xem lời giải SGK - Toán 11 Nâng cao - Xem ngay

>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.

Bài viết liên quan