Câu 73 trang 17 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Cho đường triòn (O) và một điểm P nằm trong đường tròn đó. Một đường thẳng thay đổi đi qua P, cắt (O) tại hai điểm A và B. Tìm quỹ tích điểm M sao cho \(\overrightarrow {PM}  = \overrightarrow {PA}  + \overrightarrow {PB} \).

Trả lời:

Gọi I là trung điểm của AB thì \(\overrightarrow {PI}  = {{\overrightarrow {PA}  + \overrightarrow {PB} } \over 2}\) , bởi vậy \(\overrightarrow {PM}  = \overrightarrow {PA}  + \overrightarrow {PB}  = 2\overrightarrow {PI} \).

Gọi V là phép vị tự tâm P tỉ số k = 2 thì V biến điểm I thành điểm M.

Vì I là trung điểm của AB nên OI ⊥ AB. Suy ra quỹ tích của điểm I là đường tròn  (C) đườn kính PO.

Vậy quỹ tích của điểm M là đường tròn (C’) ảnh của (C) qua phép vị tự V. Nếu ta lấy O’ sao cho \(\overrightarrow {PO'}  = 2\overrightarrow {PO} \)  thì (C’) là đường tròn đường kính PO’.

Sachbaitap.com