Loigiaihay.com 2025

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Câu 72 trang 128 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Câu 72 trang 128 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Lấy các điểm \({A_1},{B_1},{C_1}\) lần lượt thuộc các cạnh bên AA’, BB’, CC’ sao cho \({{A{A_1}} \over {AA'}} = {{B'{B_1}} \over {BB'}} = {{C'{C_1}} \over {CC'}} = {3 \over 4}\). Trên các đoạn thẳng CA1 và A’B1 lần lượt lấy các điểm I, J sao cho IJ // B’C1. Tính tỉ số \({{IJ} \over {B'{C_1}}}\) .

Trả lời

 

Đặt \(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow c \). Theo giả thiết ta có:

\(\overrightarrow {A{A_1}}  = {3 \over 4}\overrightarrow a ,\overrightarrow {B'{B_1}}  =  - {3 \over 4}\overrightarrow a ,\overrightarrow {C'{C_1}}  =  - {3 \over 4}\overrightarrow a .\)

Ta có:

\(\eqalign{  & \overrightarrow {C{A_1}}  = \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {A{A_1}}   \cr  &  = {3 \over 4}\overrightarrow a  - \overrightarrow c ;  \cr  & \overrightarrow {A'{B_1}}  = \overrightarrow {A'B'}  + \overrightarrow {B'{B_1}}   \cr  &  =  - {3 \over 4}\overrightarrow a  + \overrightarrow b ;  \cr  & \overrightarrow {B'{C_1}}  = \overrightarrow {B'A'}  + \overrightarrow {A'C'}  + \overrightarrow {C'{C_1}}   \cr  &  =  - {3 \over 4}\overrightarrow a  - \overrightarrow b  + \overrightarrow c  \cr} \)

Vì I thuộc CA1 nên \(\overrightarrow {CI}  = t\overrightarrow {C{A_1}}  = {3 \over 4}t\overrightarrow a  - t\overrightarrow c .\)

Do J thuộc A’B1 nên \(\overrightarrow {A'J}  = m\overrightarrow {A'{B_1}}  =  - {3 \over 4}m\overrightarrow a  + m\overrightarrow b \) .

Mặt khác

\(\eqalign{  & \overrightarrow {IJ}  = \overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {CA'}  + \overrightarrow {A'J}   \cr  &  =  - {3 \over 4}t\overrightarrow a  + t\overrightarrow c  + \overrightarrow a  - \overrightarrow c  - {3 \over 4}m\overrightarrow a  + m\overrightarrow b   \cr  &  = \left( {1 - {3 \over 4}t - {3 \over 4}m} \right)\overrightarrow a  + m\overrightarrow b  + \left( {t - 1} \right)\overrightarrow c  \cr} \)

Ta có:

\(\eqalign{  & IJ//B'{C_1} \Leftrightarrow \overrightarrow {IJ}  = k\overrightarrow {B'{C_1}}   \cr  &  \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  1 - {3 \over 4}t - {3 \over 4}m =  - {3 \over 4}k \hfill \cr  m =  - k \hfill \cr  t - 1 = k \hfill \cr}  \right. \cr} \)

Suy ra

\(\eqalign{  & 1 - {3 \over 4}\left( {k + 1} \right) + {3 \over 4}k =  - {3 \over 4}k  \cr  &  \Leftrightarrow {1 \over 4} + {3 \over 4}k = 0 \Leftrightarrow k =  - {1 \over 3}  \cr  &  \Rightarrow t = {2 \over 3},m = {1 \over 3}. \cr} \)

Vậy điểm I thuộc A1C được xác định bởi \(\overrightarrow {CI}  = {2 \over 3}\overrightarrow {C{A_1}} \) và J thuộc A’B1 được xác định \(\overrightarrow {A'J}  = {1 \over 3}\overrightarrow {A'{B_1}} \).

Khi đó, ta có \({{IJ} \over {B'{C_1}}} = {1 \over 3}.\)

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Xem lời giải SGK - Toán 11 Nâng cao - Xem ngay

>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.

Bài viết liên quan