Loigiaihay.com 2024

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Câu 73 trang 128 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Câu 73 trang 128 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Cho M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD của tứ diện ABCD; P là điểm thuộc đường thẳng AD sao cho \(\overrightarrow {PA}  = k\overrightarrow {P{\rm{D}}} \), k là số cho trước (k ≠ 1). Xác định điểm Q thuộc đường thẳng BC sao cho PQ và MN cắt nhau. Khi đó, hãy tính tỉ số \({{QB} \over {QC}}.\)

Trả lời

  

MN cắt PQ nên các điểm M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng. Điều này tương đương với có các số x, y sao cho \(\overrightarrow {MP}  = x\overrightarrow {MN}  + y\overrightarrow {MQ} \).

Đặt \(\overrightarrow {DA}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {DB}  = \overrightarrow b ,\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow c .\)

Khi đó

\(\eqalign{  & \overrightarrow {MN}  = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {A{\rm{D}}}  + \overrightarrow {BC} } \right)  \cr  &  = {1 \over 2}\left( { - \overrightarrow a  - \overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right)  \cr  & \overrightarrow {MP}  = {{\overrightarrow {MA}  - k\overrightarrow {M{\rm{D}}} } \over {1 - k}}  \cr  &  = {1 \over {1 - k}}\left[ {{1 \over 2}\left( {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right) - {k \over 2}\left( {\overrightarrow a  - \overrightarrow b  - 2\overrightarrow a } \right)} \right]  \cr  &  = {1 \over {1 - k}}\left[ {{1 \over 2}\left( {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right) + {k \over 2}\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)} \right]  \cr  &  = {1 \over {2\left( {1 - k} \right)}}\left[ {\left( {1 + k} \right)\overrightarrow a  + \left( {k - 1} \right)\overrightarrow b } \right]  \cr  &  = {{k + 1} \over {2\left( {1 - k} \right)}}\overrightarrow a  - {1 \over 2}\overrightarrow {b.}   \cr  & \overrightarrow {MQ}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BQ}   \cr  &  = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow b  - \overrightarrow a } \right) + t\left( { - \overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right)  \cr  &  =  - {1 \over 2}\overrightarrow a  + \left( {{1 \over 2} - t} \right)\overrightarrow b  + t\overrightarrow c  \cr} \)

Từ đó ta có

\(\eqalign{  & \overrightarrow {MP}  = x\overrightarrow {MN}  + y\overrightarrow {MQ}   \cr  &  \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {{k + 1} \over {2\left( {1 - k} \right)}} =  - {1 \over 2}x - {1 \over 2}y \hfill \cr   - {1 \over 2} =  - {1 \over 2}x + y\left( {{1 \over 2} - t} \right) \hfill \cr  0 = {1 \over 2}x + yt \hfill \cr}  \right.  \cr  &  \Rightarrow y =  - 1,x = {{k + 1} \over {k - 1}} + 1 = {{2k} \over {k - 1}}  \cr  & t = {k \over {k - 1}} \cr} \)

Như vậy

\(\eqalign{  & \overrightarrow {BQ}  = {k \over {k - 1}}\overrightarrow {BC}  = {k \over {k - 1}}\left( {\overrightarrow {BQ}  + \overrightarrow {QC} } \right)  \cr  &  \Leftrightarrow \left( {1 - {k \over {k - 1}}} \right)\overrightarrow {BQ}  = {k \over {k - 1}}\overrightarrow {QC}   \cr  &  \Leftrightarrow  - \overrightarrow {BQ}  = k.\overrightarrow {QC}   \cr  &  \Leftrightarrow {{QB} \over {QC}} = \left| k \right| \cr} \)

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Xem lời giải SGK - Toán 11 Nâng cao - Xem ngay

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Bài viết liên quan