Xem thêm: Ôn tập chương II - Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song
74. Trang 64 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Cho tứ diện ABCD. Một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với cả AC và BD cắt các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt tại các điểm P, Q, R, S.
a) Chứng minh rằng tứ giác PQRS là hình bình hành.
b) Xác định vị trí của điểm P trên cạnh AB để tứ giác PQRS là hình thoi.
Giải
a)
\(\left. \matrix{
AC//\alpha \hfill \cr
AC \subset \left( {ABC} \right) \hfill \cr
(\alpha ) \cap (ABC) = PQ \hfill \cr} \right\} \Rightarrow PQ//AC\)
\(\left. \matrix{
AC//\alpha \hfill \cr
AC \subset \left( {ACD} \right) \hfill \cr
(\alpha ) \cap (ACD) = RS \hfill \cr} \right\} \Rightarrow RS//AC\)
Từ trên, suy ra: PQ // RS (//AC) (1)
Chứng minh tương tự, ta có:
PS // QR (//BD) (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác PQRS là hình bình hành.
b) Vì \(PS//BD \Rightarrow {{PS} \over {BD}} = {{PA} \over {AB}}\)
Nên \(PS = {{BD} \over {AB}}.PA.\) (3)
Vì \(PQ//AC \Rightarrow {{PQ} \over {AC}} = {{PB} \over {AB}}\)
Nên \(PQ = {{AC} \over {AB}}.PB.\) (4)
Tứ giác PQRS là hình thoi khi và chỉ khi PS = PQ
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow BD.PA = AC.PB \cr
& \Leftrightarrow {{PA} \over {PB}} = {{AC} \over {BD}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(5) \cr} \)
Tứ giác PQRS là hình thoi khi và chỉ khi \(mp\left( \alpha \right)\) qua điểm P (được xác định bởi (5)) đồng thời song song với cả AC và BD.
sachbaitap.com
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Bài viết liên quan
Các bài khác cùng chuyên mục