Loigiaihay.com 2025

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Câu 78 trang 129 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Câu 78 trang 129 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Cho tam giác đề ABC có chiều cao AH = 5a. Điểm O thuộc đoạn thẳng AH sao cho AO = a. Điểm S trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại O và SO = 2a.

a) Chứng mịn AS và CS vuông góc với nhau. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC.

b) Gọi I là trung điểm của OH; (α) là mặt phẳng đi qua điểm I và vuông góc với AH. Thiết diện của hình chóp S.ABC khi cắt bởi (α) là hình gì? Tính diện tích thiết diện.

Trả lời

 

a) Dễ thấy

\(\eqalign{  & BC = {{10{\rm{a}}} \over {\sqrt 3 }}  \cr  & S{A^2} = S{O^2} + A{O^2}  \cr  &  = 4{{\rm{a}}^2} + {a^2} = 5{{\rm{a}}^2}  \cr  & S{C^2} = S{O^2} + A{O^2}  \cr  &  = 4{{\rm{a}}^2} + 16{{\rm{a}}^2} + {{25{{\rm{a}}^2}} \over 3}  \cr  &  = {{85{a^2}} \over 3}  \cr  & A{C^2} = {{100{{\rm{a}}^2}} \over 3} \cr} \)

Ta có \(S{A^2} + S{C^2} = A{C^2}\)

Vậy \(SA \bot SC\).

+ Kẻ AD song song và bằng BC (hai tia AD, BC cùng chiều) thì góc giữa AB và SC chính là góc giữa CD và SC, đó là \(\widehat {SC{\rm{D}}}\) hoặc \({180^0} - \widehat {SC{\rm{D}}}\).

Dễ thấy \(SA \bot BC\), do AD // BC nên \(SA \bot A{\rm{D}}\), tức là tam giác SAD vuông.

Do đó \(S{{\rm{D}}^2} = S{A^2} + A{{\rm{D}}^2} = 5{{\rm{a}}^2} + {{100{{\rm{a}}^2}} \over 3} = {{115{{\rm{a}}^2}} \over 3}\),

mặt khác \(S{{\rm{D}}^2} = S{C^2} + D{C^2} - 2{\rm{S}}C.DC\cos \widehat {SCD}\)

nên ta có

\(\eqalign{& {{115{{\rm{a}}^2}} \over 3} \cr & = {{85{{\rm{a}}^2}} \over 3} + {{100{{\rm{a}}^2}} \over 3} - 2.{{a\sqrt {85} } \over {\sqrt 3 }}.{{10{\rm{a}}} \over {\sqrt 3 }}\cos \widehat {SCD} \cr & \Rightarrow \cos \widehat {SCD} = {7 \over {2\sqrt {85} }} \cr} \)

Vậy góc giữa AB và SC là α mà

\(\cos \alpha  = {7 \over {2\sqrt {85} }}\).

Do \(\left( \alpha  \right) \bot AH,SO \bot AH\) và \(BC \bot AH\) nên SO và BC cùng song song với (α). Khi đó \(\left( \alpha  \right) \cap \left( {ABC} \right) = MN\), MN qua I và MN // BC

\(\eqalign{  & \left( \alpha  \right) \cap \left( {SOH} \right) = IJ,IJ//SO  \cr  & \left( \alpha  \right) \cap \left( {SBC} \right) = PQ \cr} \)

PQ qua J và PQ // BC.

Dễ thấy MNPQ là hình thang cân với chiều cao JI.

Ta có :

\(\eqalign{  & {\rm{IJ}} = {1 \over 2}SO = a  \cr  & PQ = {1 \over 2}BC = {{5{\rm{a}}} \over {\sqrt 3 }}  \cr  & {{MN} \over {BC}} = {{3{\rm{a}}} \over {5{\rm{a}}}} \Rightarrow MN = {{10{\rm{a}}.3} \over {\sqrt 3 .5}} = 2{\rm{a}}\sqrt 3 . \cr} \)

Suy ra

\(\eqalign{  & {S_{MNPQ}} = {1 \over 2}\left( {MN + PQ} \right).{\rm{IJ}}  \cr  &  = {1 \over 2}\left( {2{\rm{a}}\sqrt 3  + {{5{\rm{a}}} \over {\sqrt 3 }}} \right).a = {{11{{\rm{a}}^2}} \over {2\sqrt 3 }} \cr} \)

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Xem lời giải SGK - Toán 11 Nâng cao - Xem ngay

>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.

Bài viết liên quan