Câu 79 trang 17 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho các số x và y có dạng: \(x = {a_1}\sqrt 2  + {b_1}\) và \(x = {a_2}\sqrt 2  + {b_2}\), trong đó \({a_1},{a_2},{b_1},{b_2}\) là các số hữu tỉ. Chứng minh:

a) x + y và x,y cũng có dạng \(a\sqrt 2  + b\) với a và b là số hữu tỉ.

b) \({x \over y}\) với \(y \ne 0\) cũng có dạng \(a\sqrt 2  + b\) với a và b là số hữu tỉ.

Gợi ý làm bài

a) Ta có:

\(\eqalign{
& x + y = ({a_1}\sqrt 2 + {b_1}) + ({a_2}\sqrt 2 + {b_2}) \cr
& = ({a_1} + {a_2})\sqrt 2 + ({b_1} + {b_2}) \cr} \)

Vì \({a_1},{a_2},{b_1},{b_2}\) là các số hữu tỉ nên \({a_1} + {a_2},{b_1} + {b_2}\) cũng là số hữu tỉ.

Lại có: 

\(\eqalign{
& xy = ({a_1}\sqrt 2 + {b_1})({a_2}\sqrt 2 + {b_2}) \cr
& = 2{a_1}{a_2} + {a_1}{b_2}\sqrt 2 + {a_2}{b_1}\sqrt 2 + {b_1}{b_2} \cr} \)

\( = ({a_1}{b_2} + {a_2}{b_1})\sqrt 2  + (2{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2})\)

Vì \({a_1},{a_2},{b_1},{b_2}\) là các số hữu tỉ nên \({a_1}{b_2} + {a_2}{b_1}\), \(2{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}\) cũng là số hữu tỉ. 

b) Ta có:

\(\eqalign{
& {x \over y} = {{{a_1}\sqrt 2 + {b_1}} \over {{a_2}\sqrt 2 + {b_2}}} \cr
& = {{({a_1}\sqrt 2 + {b_1})({a_2}\sqrt 2 - {b_2})} \over {{{({a_2}\sqrt 2 )}^2} - {b_2}^2}} \cr} \)

\( = {{2{a_1}{a_2} - {a_1}{b_2}\sqrt 2  + {a_2}{b_1}\sqrt 2  - {b_1}{b_2}} \over {2{a_2}^2 - {b_2}^2}}\)

\(= \sqrt 2 {{{a_2}{b_1} - {a_1}{b_2}} \over {2{a_2}^2 - {b_2}^2}} + {{2{a_1}{a_2} - {b_1}{b_2}} \over {2{a_2}^2 - {b_2}^2}}\)

Vì \(y \ne 0\) nên \({a_2}\) và \({b_2}\) không đồng thời bằng 0

Suy ra: \(2{a_2}^2 - {b_2}^2\) \( \ne 0\)

Nếu \(2{a_2}^2 - {b_2}^2 = 0\) thì \(\sqrt 2 {{{b_2}} \over {{a_2}}}\)

Điều này mâu thuẫn với \(\sqrt 2 \) là số vô tỉ.

Vậy \({{{a_2}{b_1} - {a_1}{b_2}} \over {2{a_2}^2 - {b_2}^2}}\); \({{2{a_1}{a_2} - {b_1}{b_2}} \over {2{a_2}^2 - {b_2}^2}}\) đều là số hữu tỉ.

Sachbaitap.com