Câu 84 trang 171 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Bình chọn:
3.9 trên 12 phiếu

Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) có đường kính BC. Kẻ dây AD vuông góc với BC. Gọi E là giao điểm của DB và CA. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt BC ở H, cắt AB ở F. Chứng minh rằng:

Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) có đường kính BC. Kẻ dây AD vuông góc với BC. Gọi E là giao điểm của DB và CA. Qua E kẻ đường  thẳng vuông góc với BC, cắt BC ở H, cắt AB ở F. Chứng minh rằng:

a)      Tam giác EBF là tam giác cân ;

b)      Tam giác HAF là tam giác cân ;

c)      HA là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Giải:

a) Gọi I là giao điểm của AD và BC

Vì BC là đường trung trực của AD nên theo tính chất đường trung trực ta có:

            BA = BD

Tam giác BAD cân tại B có BI ⊥ AD nên BI là tia phân giác của góc ABD.

Suy ra: \(\widehat {ABI} = \widehat {DBI}\)

Mà \(\widehat {ABI} = \widehat {HBF}\) (đối đỉnh)

và \(\widehat {DBI} = \widehat {HBE}\) ( đối đỉnh)

Suy ra: \(\widehat {HBE} = \widehat {HBF}\)

Tam giác EBF có BH là tia phân giác của góc EBF và BH ⊥ EF nên tam giác EBF cân tại B.

b) Tam giác EBF cân tại B nên HE = HF

Tam giác AEF vuông tại A có AH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên:

\(HA = HE = HF = {1 \over 2}{\rm{EF}}\) (tính chất tam giác vuông)

Vậy tam giác AHF cân tại H.

c) Tam giác AHF cân tại H nên \(\widehat {HAF} = \widehat {HFA}\)        (1)

Tam giác AOB cân tại O nên \(\widehat {OAB} = \widehat {OBA}\)

Mà \(\widehat {ABI} = \widehat {HBF}\) ( đối đỉnh)

Suy ra: \(\widehat {OAB} = \widehat {HBF}\)                  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {HAO} = \widehat {{\rm{HAF}}} + \widehat {OAB} = \widehat {HFB} + \widehat {HBF}\)    (3)

Tam giác BHF vuông tại H nên \(\widehat {HFB} + \widehat {HBF} = 90^\circ \)      (4)

Từ (3) và (4) suy ra: \(\widehat {HAO} = 90^\circ \) hay HA ⊥ AO

Vậy HA là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Xem lời giải SGK - Toán 9 - Xem ngay

>>Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa  cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com

Bài viết liên quan