Giải SBT Toán 10 trang 56, 57 Cánh Diều tập 1

Bài 28 trang 56 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào không là bất phương trình bậc hai một ẩn?

A. \( - 2{x^2} + 3x < 0\)

B. \(0,5{y^2} - \sqrt 3 \left( {y - 2} \right) \le 0\)

C. \({x^2} - 2xy - 3 \ge 0\)

D. \(\sqrt 2 {x^2} - 3 \ge 0\)

Lời giải:

Bất phương trình \({x^2} - 2xy - 3 \ge 0\) có hai ẩn \(x,y\) nên nó không phải bất phương trình bậc hai một ẩn.

Chọn C.

Bài 29 trang 56 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Tập nghiệm của bất phương trình \( - {x^2} + 3x + 18 \ge 0\) là:

A. \(\left[ { - 3;6} \right]\)

B. \(\left( { - 3;6} \right)\)

C. \(x \in \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {6; + \infty } \right)\)

D. \(x \in \left( { - \infty ; - 3} \right] \cup \left[ {6; + \infty } \right)\)

Lời giải:

Tam thức bậc hai \( - {x^2} + 3x + 18\) có hai nghiệm \({x_1} =  - 3;{x_2} = 6\) và có hệ số \(a =  - 1 < 0\)

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của \(x\) sao cho tam thức \( - {x^2} + 3x + 18 \ge 0\) mang dấu “+” là \(\left[ { - 3;6} \right]\)

Chọn A.

Bài 30 trang 56 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Dựa vào đồ thị hàm số bậc hai \(y = f\left( x \right)\) trong mỗi Hình 18a, 18b, 18c, hãy viết tập nghiệm các bất phương trình sau: \(f\left( x \right) > 0;f\left( x \right) < 0;f\left( x \right) \ge 0;f\left( x \right) \le 0\)

Lời giải:

a) Quan sát đồ thị ở Hình 18a, ta có đồ thị hàm số \(y = f(x)\) nằm phía dưới trục hoành và không cắt trục hoành nên \(f\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Do đó:

+ Tập nghiệm của BPT \(f\left( x \right) > 0\) là \(S = \emptyset \)

+ Tập nghiệm của BPT \(f\left( x \right) < 0\) là \(S = \mathbb{R}\)

+ Tập nghiệm của BPT \(f\left( x \right) \ge 0\) là \(S = \emptyset \)

+ Tập nghiệm của BPT \(f\left( x \right) \le 0\) là \(S = \mathbb{R}\)

b) Quan sát đồ thị ở Hình 18b, ta có:

Phần đồ thị nằm trên trục hoành ứng với \(1 < x < 3\)

Phần đồ thị nằm dưới trục hoành ứng với \(x < 1\) và \(x > 3\)

Đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ \(x = 1\) và \(x = 3\)

Kết luận

+ Tập nghiệm của BPT \(f\left( x \right) > 0\) là \(S = \left( {1;3} \right)\)

+ Tập nghiệm của BPT \(f\left( x \right) < 0\) là \(S = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)

+ Tập nghiệm của BPT \(f\left( x \right) \ge 0\) là \(S = \left[ {1;3} \right]\)

+ Tập nghiệm của BPT \(f\left( x \right) \le 0\) là \(S = \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)\)

c) Quan sát đồ thị ở Hình 18c, ta có đồ thị hàm số \(y = f(x)\) nằm phía dưới trục hoành và cắt trục hoành tại A(2;0) nên \(f\left( x \right) \le 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

+ Tập nghiệm của BPT \(f\left( x \right) > 0\) là \(S = \emptyset \)

+ Tập nghiệm của BPT \(f\left( x \right) < 0\) là \(S = \mathbb{R}{\rm{\backslash }}\{ 2\} \)

+ Tập nghiệm của BPT \(f\left( x \right) \ge 0\) là \(S = 2\)

+ Tập nghiệm của BPT \(f\left( x \right) \le 0\) là \(S = \mathbb{R}\)

Bài 31 trang 56 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Giải các bất phương trình bậc hai sau:

a) \(3{x^2} - 8x + 5 > 0\)

b) \( - 2{x^2} - x + 3 \le 0\)

c) \(25{x^2} - 10x + 1 < 0\)

d) \( - 4{x^2} + 5x + 9 \ge 0\)

Lời giải:

a) \(3{x^2} - 8x + 5 > 0\)

Tam thức bậc hai \(3{x^2} - 8x + 5\) có hai nghiệm \({x_1} = 1;{x_2} = \frac{5}{3}\) và có hệ số \(a = 3 > 0\)

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của \(x\) sao cho tam thức \(3{x^2} - 8x + 5\) mang dấu “+” là \(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {\frac{5}{3}; + \infty } \right)\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(3{x^2} - 8x + 5 > 0\) là \(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {\frac{5}{3}; + \infty } \right)\)

b) Tam thức bậc hai \( - 2{x^2} - x + 3\) có hai nghiệm \({x_1} =  - \frac{3}{2};{x_2} = 1\) và có hệ số \(a =  - 2 < 0\)

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của \(x\) sao cho tam thức \( - 2{x^2} - x + 3\) mang dấu “-” là \(x \in \left( { - \infty ; - \frac{3}{2}} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \( - 2{x^2} - x + 3 \le 0\) là \(x \in \left( { - \infty ; - \frac{3}{2}} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\)

c) Tam thức bậc hai \(25{x^2} - 10x + 1\) có nghiệm kép \({x_0} = \frac{1}{5}\) và có hệ số \(a = 25 > 0\)

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy \(25{x^2} - 10x + 1 \ge 0\;\forall x \in \mathbb{R}\). Do đó tập hợp những giá trị của \(x\) sao cho tam thức \(25{x^2} - 10x + 1\) mang dấu “-” là \(\emptyset \)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(25{x^2} - 10x + 1 < 0\) là \(\emptyset \)

d) \( - 4{x^2} + 5x + 9 \ge 0\)

Tam thức bậc hai \( - 4{x^2} + 5x + 9\) có hai nghiệm \({x_1} =  - 1;{x_2} = \frac{9}{4}\) và có hệ số \(a =  - 4 < 0\)

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của \(x\) sao cho tam thức \( - 4{x^2} + 5x + 9\) mang dấu “+” là \(\left[ { - 1;\frac{9}{4}} \right]\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \( - 4{x^2} + 5x + 9 \ge 0\) là \(\left[ { - 1;\frac{9}{4}} \right]\)

Bài 32 trang 57 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Tìm giao các tập nghiệm của hai bất phương trình \( - 3{x^2} + 7x + 10 \ge 0\) và \( - 2{x^2} - 9x + 11 > 0\)

Lời giải:

+ Tam thức bậc hai \( - 3{x^2} + 7x + 10\) có hai nghiệm \({x_1} =  - 1;{x_2} = \frac{{10}}{3}\) và có hệ số \(a =  - 3 < 0\)

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của \(x\) sao cho tam thức \( - 3{x^2} + 7x + 10\) mang dấu “+” là \(\left[ { - 1;\frac{{10}}{3}} \right]\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \( - 3{x^2} + 7x + 10 \ge 0\) là \(\left[ { - 1;\frac{{10}}{3}} \right]\)

+ Tam thức bậc hai \( - 2{x^2} - 9x + 11\) có hai nghiệm \({x_1} =  - \frac{{11}}{2};{x_2} = 1\) và có hệ số \(a =  - 2 < 0\)

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của \(x\) sao cho tam thức \( - 2{x^2} - 9x + 11\) mang dấu “+” là \(\left( { - \frac{{11}}{2};1} \right)\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \( - 2{x^2} - 9x + 11 > 0\) là \(\left( { - \frac{{11}}{2};1} \right)\)

Kết hợp hai tập nghiệm \(\left[ { - 1;\frac{{10}}{3}} \right]\) và \(\left( { - \frac{{11}}{2};1} \right)\), ta có tập nghiệm của hai bất phương trình \( - 3{x^2} + 7x + 10 \ge 0\) và \( - 2{x^2} - 9x + 11 > 0\) là \(\left[ { - 1;\frac{{10}}{3}} \right] \cap \left( { - \frac{{11}}{2};1} \right) = \left[ { - 1;1} \right)\)

Bài 33 trang 57 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Tìm \(m\) để phương trình \( - {x^2} + \left( {m + 2} \right)x + 2m - 10 = 0\) có nghiệm

Lời giải:

Hàm số \( - {x^2} + \left( {m + 2} \right)x + 2m - 10 = 0\) có:

 \(\begin{array}{l}a =  - 1 \ne 0,b = m + 2,c = 2m - 10\\ \Rightarrow \Delta  = {\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( { - 1} \right)\left( {2m - 10} \right)\end{array}\)

+ Phương trình \(f\left( x \right) =  - {x^2} + \left( {m + 2} \right)x + 2m - 10 = 0\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta  \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {m^2} + 12m - 36 \ge 0\)

+ Giải bất phương trình \({m^2} + 12m - 36 \ge 0\)

Tam thức bậc hai \({x^2} + 12x - 36\) có hai nghiệm \({x_1} =  - 6 - 6\sqrt 2 ;{x_2} =  - 6 + 6\sqrt 2 \) và có hệ số \(a = 1 > 0\)

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của \(x\) sao cho tam thức \({x^2} + 12x - 36\) mang dấu “+” là \(\left( { - \infty ; - 6 - 6\sqrt 2 } \right] \cup \left[ { - 6 + 6\sqrt 2 ; + \infty } \right)\)

Do đó tập nghiệm của BPT \({m^2} + 12m - 36 \ge 0\) là \(\left( { - \infty ; - 6 - 6\sqrt 2 } \right] \cup \left[ { - 6 + 6\sqrt 2 ; + \infty } \right)\)

Vậy \(m \in \left( { - \infty ; - 6 - 6\sqrt 2 } \right] \cup \left[ { - 6 + 6\sqrt 2 ; + \infty } \right)\) thì phương trình trên có nghiệm

Bài 34 trang 57 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Xét hệ tọa độ \(Oth\) trong mặt phẳng, trong đó trục \(Ot\) biểu thị thời gian \(t\) (tính bằng giây) và trục \(Oh\) biểu thị độ cao \(h\) (tính bằng mét). Một quả bóng được đá lên từ điểm \(A\left( {0;0,3} \right)\) và chuyển động theo quỹ đạo là một cung parabol. Quả bóng đạt độ cao 8m sau 1 giây, và đạt độ cao 6m sau 2 giây. Trong khoảng thời gian nào (tính bằng giây) thì quả bóng ở độ cao lơn hơn 5m và nhỏ hơn 7m (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn)?

Lời giải:

+ Độ cao h phụ thuộc vào thời gian t theo công thức hàm số sau:

\(h\left( t \right) =  - 4,85{t^2} + 12,55t + 0,3\) (m)

+ Quả bóng ở độ cao lớn hơn 5 m và hỏ hơn 7 m nên \(5 < h\left( t \right) < 7\)

+ Giải bất phương trình \( - 4,85{t^2} + 12,55t + 0,3 > 5\) hay \( - 4,85{t^2} + 12,55t - 4,7 > 0\)

Tam thức bậc hai \( - 4,85{t^2} + 12,55t - 4,7\) có hai nghiệm xấp xỉ\({t_1} = 0,454;{t_2} = 2,133\) và có hệ số \(a =  - 4,85 < 0\)

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của \(t\) sao cho tam thức \( - 4,85{t^2} + 12,55t - 4,7\) mang dấu “+” là \(\left( {0,454;2,133} \right)\)

Do đó BPT có tập nghiệm với đầu mút xấp xỉ là \(\left( {0,454;2,133} \right)\)

+ Giải bất phương trình \( - 4,85{t^2} + 12,55t + 0,3 < 7\) hay \( - 4,85{t^2} + 12,55t - 6,7 < 0\)

Tam thức bậc hai \( - 4,85{t^2} + 12,55t - 6,7\) có hai nghiệm xấp xỉ\({t_1} = 0,735;{t_2} = 1,835\) và có hệ số \(a =  - 4,85 < 0\)

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của \(t\) sao cho tam thức \( - 4,85{t^2} + 12,55t - 6,7\) mang dấu “-” là \(\left( { - \infty ;0,753} \right) \cup \left( {1,835; + \infty } \right)\)

Do đó BPT có tập nghiệm với đầu mút xấp xỉ là \(\left( { - \infty ;0,753} \right) \cup \left( {1,835; + \infty } \right)\)

+ Lấy giao của hai tập nghiệm trên, ta có \(t \in \left( {0,454;0,753} \right) \cup \left( {1,835;2,133} \right)\)

Vậy ở trong khoảng thời gian từ 0,454 s đến 0,753 s và từ 1,835 s đến 2,133 s thì quả bóng ở độ cao lớn hơn 5 m và nhỏ hơn 7m.

Bài 35 trang 57 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Một tình huống trong huấn luyện pháo binh được mô tả như sau: Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) (đơn vị trên hai trục tính theo mét), một viên đạn được bắn từ vị trí \(O\left( {0;0} \right)\) theo quỹ đạo là đường parabol \(y =  - \frac{9}{{1\;000\;000}}{x^2} + \frac{3}{{100}}x\). Tìm khoảng cách theo trục hoành của viên đạn so với vị trí bắn khi viên đạn đang ở độ cao lớn hơn 15m (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm theo đơn vị mét).

Lời giải:

Độ cao viên đạn lớn hơn 15 m nên \( - \frac{9}{{1\;000\;000}}{x^2} + \frac{3}{{100}}x > 15 \Leftrightarrow  - 3{x^2} + 10\;000x - 5\;000\;000 > 0\)

\( \Rightarrow \frac{{5\;000 - 1\;000\sqrt {10} }}{3} < x < \frac{{5\;000 + 1\;000\sqrt {10} }}{3}\)

Vậy khoảng cách theo trục hoành của viên đạn so với vị trí bắn viên đạn đang ở độ cao lớn hơn 15 m là nằm trong khoảng \(\left( {\frac{{5\;000 - 1\;000\sqrt {10} }}{3};\frac{{5\;000 + 1\;000\sqrt {10} }}{3}} \right)\) xấp xỉ \(\left( {612,57;2720,76} \right)\).

Sachbaitap.com