Giải SBT Toán 10 trang 66, 67 Cánh Diều tập 2

Bài 12 trang 66 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Cho hai vectơ \(\overrightarrow u  = ( - 1;3)\) và \(\overrightarrow v  = (2; - 5)\). Toạ độ của vectơ \(\overrightarrow u  + \overrightarrow v \) là:

A. (1; -2)                     B. (-2; 1)                    C. (-3; 8)                     D. (3; -8)

Phương pháp:

Nếu \(\overrightarrow u  = ({x_1};{y_1})\) và \(\overrightarrow v  = ({x_2};{y_2})\) thì \(\overrightarrow u  + \overrightarrow v  = ({x_1} + {x_2};{y_1} + {y_2})\)

Lời giải:

Bài 13 trang 66 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Cho hai vectơ \(\overrightarrow u  = (2; - 3)\)và \(\overrightarrow v  = (1;4)\). Toạ độ của vectơ \(\overrightarrow u  - 2\overrightarrow v \) là:

A. (0; 11)                    B. (0; -11)                  C. (-11; 0)                   D. (-3; 10)

Phương pháp:

Nếu \(\overrightarrow u  = ({x_1};{y_1})\) và \(\overrightarrow v  = ({x_2};{y_2})\) thì \(\overrightarrow u  - 2\overrightarrow v  = ({x_1} - 2{x_2};{y_1} - 2{y_2})\)

Lời giải:

Bài 14 trang 66 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Cho hai điểm A(4; − 1) và B(– 2; 5). Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là:

A. (2;4)                       B. (-3; 3)                    C. (3; -3)                     D. (1; 2)

Phương phảp:

Nếu M(a; b) là trung điểm của AB với \(A({x_A};{y_A}),B({x_B};{y_B})\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\b = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\end{array} \right.\)

Lời giải:

Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là:

Suy ra M(1; 2)

Vậy chọn đáp án D.

Bài 15 trang 66 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Cho tam giác ABC có A(4 ; 6), B(1 ; 2), C(7 ; – 2). Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

\(A\left( {4;\frac{{10}}{3}} \right)\)             B. (8; 4)                       C. (2;4)                D. (4; 2).

Phương pháp:

Nếu G(a; b) là trọng tâm của ∆ABC với \(A({x_A};{y_A}),B({x_B};{y_B}),C({x_C};{y_C})\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\b = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.\)

Lời giải:

Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

Suy ra G(4; 2)

Vậy chọn đáp án D.

Bài 16 trang 66 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Cho hai điểm M(− 2 ; 4) và N(1 ; 2). Khoảng cách giữa hai điểm M và N là:

A. \(\sqrt {13} \)                                 B. \(\sqrt 5 \)                          C. 13                                D. \(\sqrt {37} \)

Lời giải:

Cho M(− 2 ; 4) và N(1 ; 2) \( \Rightarrow MN = \sqrt {{3^2} + {{( - 2)}^2}}  = \sqrt {13} \)   

Chọn A

Bài 17 trang 66 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Cho hai vectơ \(\overrightarrow u  = ( - 4; - 3)\) và \(\overrightarrow v  = ( - 1; - 7)\). Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) là:

A. 90⁰                          B. 60⁰                          C. 45⁰                          D. 30⁰

Lời giải:

Ta có: \(\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{( - 4).( - 1) + ( - 3).( - 7)}}{{\sqrt {{{( - 4)}^2} + {{( - 3)}^2}} .\sqrt {{{( - 1)}^2} + {{( - 7)}^2}} }}\)\( = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) \( \Rightarrow \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {45^0}\)   

Chọn C

Bài 18 trang 67 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Côsin của góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u  = (1;1)\) và \(\overrightarrow v  = ( - 2;1)\) là:

A. \( - \frac{1}{{10}}\)                        B. \(\frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\)                        C. \( - \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\)                  D. \(\frac{3}{{10}}\)

Lời giải:

Ta có: \(\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{1.( - 2) + 1.1}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} .\sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2}} }}\)\( =  - \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\)    

Chọn C

Bài 19 trang 67 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Cho tam giác ABC có A(2 ; 6), B(– 2 ; 2), C(8 ; 0). Khi đó, tam giác ABC là:

A. Tam giác đều                                             B. Tam giác vuông tại A

C. Tam giác có góc tù tại A                            D. Tam giác cân tại A

Lời giải:

\(\overrightarrow {AB}  = ( - 4; - 4) \Rightarrow AB = 4\sqrt 2 \);

\(\overrightarrow {AC}  = (6; - 6) \Rightarrow AC = 6\sqrt 2 \);

\(\overrightarrow {BC}  = (10; - 2) \Rightarrow BC = 2\sqrt {26} \)

Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = ( - 4).6 + ( - 4).( - 6) =  - 24 + 24 = 0\) \( \Rightarrow AB \bot AC\)

Vậy ∆ABC vuông tại A   

Chọn B

Bài 20 trang 67 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm A(1; 5), B(–1; –1), C(2; – 5).

a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng

b) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC

c) Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình thang có AB // CD và CD = \(\frac{3}{2}\)AB

Lời giải:

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = ( - 2; - 6)\); \(\overrightarrow {AC}  = (1; - 10)\). Vì \(\frac{{ - 2}}{1} \ne \frac{{ - 6}}{{ - 10}}\) nên \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) không cùng phương.

Vậy ba điểm A, B, C không thẳng hàng 

b) G(a; b) là trọng tâm của ∆ABC \( \Rightarrow G\left( {\frac{2}{3}; - \frac{1}{3}} \right)\)

c) Gọi \(D(a;b)\)

Theo giả thiết, ABCD là hình thang có AB // CD và CD = \(\frac{3}{2}\)AB \( \Rightarrow \overrightarrow {CD}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {BA} \)

Ta có: \(\overrightarrow {CD}  = (a - 2;b + 5),\overrightarrow {AB}  = ( - 2; - 6)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {CD}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {BA} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 2 = \frac{3}{2}.2\\b + 5 = \frac{3}{2}.6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 4\end{array} \right.\). Vậy D(5; 4)

Bài 21 trang 67 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(– 2 ; 4), B(– 5 ; − 1), C(8 ; – 2). Giải tam giác ABC (làm tròn các kết quả số đo góc đến hàng đơn vị).

Phương pháp:

Bước 1: Tính độ dài các cạnh AB, AC, BC

Bước 2: Sử dụng định lí cosin, định lí sin để tính số đo góc

Lời giải:

\(\overrightarrow {AB}  = ( - 3; - 5) \Rightarrow AB = \sqrt {34} \);

\(\overrightarrow {AC}  = (10; - 6) \Rightarrow AC = 2\sqrt {34} \);

\(\overrightarrow {BC}  = (13; - 1) \Rightarrow BC = \sqrt {170} \)

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC ta có:

\(\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}} = 0\)\( \Rightarrow \widehat A = {90^0}\)

\(\cos B = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2.AB.BC}} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\)\( \Rightarrow \widehat B \approx {63^0}\)

\( \Rightarrow \widehat C = {90^0} - \widehat B \approx {27^0}\)

Bài 22 trang 67 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm A(4 ; −2), B(10; 4) và điểm M nằm trên trục Ox. Tìm toạ độ điểm M sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right|\) có giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:

Do M \( \in Ox\) nên M(a; 0)

Gọi I là trung điểm AB \( \Rightarrow \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0 \) và I(7; 1)

Ta có: \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right| = \left| {2\overrightarrow {MI}  + \left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB} } \right)} \right| = 2\left| {\overrightarrow {MI} } \right|\)\( = 2MI\)

\(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right|\) có giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất \( \Leftrightarrow \) M là hình chiếu của I trên Ox

Mà I(7; 1) \( \Rightarrow M(7;0)\)

Vậy M(7; 0) thì \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right|\) có giá trị nhỏ nhất

Bài 23 trang 67 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Trên màn hình ra đa của đài kiểm soát không lưu (được coi như mặt phẳng toạ độ Oxy với đơn vị trên các trục tính theo ki-lô-mét), một máy bay trực thăng chuyển động thẳng đều từ thành phố A có toạ độ

(600 ; 200) đến thành phố B có toạ độ (200 ; 500) và thời gian bay quãng đường AB là 3 giờ. Hãy tìm toạ độ của máy bay trực thăng tại thời điểm sau khi xuất phát 1 giờ.

Lời giải:

Gọi C (a; b) là địa điểm máy bay đến sau khi xuất phát 1 giờ

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = ( - 400;300)\)

Theo giả thiết, AC = \(\frac{1}{3}AB\) \( \Rightarrow \overrightarrow {AC}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 600 = \frac{1}{3}.( - 400)\\b - 200 = \frac{1}{3}.300\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{1400}}{3}\\b = 300\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {\frac{{1400}}{3};300} \right)\)

Vậy toạ độ của máy bay trực thăng tại thời điểm sau khi xuất phát 1 giờ là \(\left( {\frac{{1400}}{3};300} \right)\).

Sachbaitap.com