Giải SGK Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo trang 56, 57

Bài 1 trang 56 SGK Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Trong không gian Oxyz, biết:

a) \(\overrightarrow a  = 5\overrightarrow i  + 7\overrightarrow j  - 3\overrightarrow k \), \(\overrightarrow b  = 2\overrightarrow i  + 4\overrightarrow k \). Tìm toạ độ các vectơ \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \)

b) \(\overrightarrow {OM}  = 4\overrightarrow i  - \overrightarrow j  + 3\overrightarrow k \), \(\overrightarrow {ON}  = 8\overrightarrow i  - 5\overrightarrow j \). Tìm toạ độ các điểm M, N.

Phương pháp:

\(\overrightarrow i  = (1;0;0);\overrightarrow j  = (0;1;0);\overrightarrow k  = (0;0;1)\). Áp dụng quy tắc nhân vecto với một số

Lời giải:

Bài 2 trang 56 SGK Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Trong không gian Oxyz, biết:

a) \(\overrightarrow a  = ( - 2;5; - 7)\), \(\overrightarrow b  = (4;0;1)\). Tính \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \), theo các vectơ \(\overrightarrow i \), \(\overrightarrow j \), \(\overrightarrow k \)

b) A(7; –2; 1), B(0; 5; 0). Tính \(\overrightarrow {OA} \), \(\overrightarrow {OB} \) theo các vectơ \(\overrightarrow i \), \(\overrightarrow j \), \(\overrightarrow k \)

Phương pháp:

\(\overrightarrow i  = (1;0;0);\overrightarrow j  = (0;1;0);\overrightarrow k  = (0;0;1)\). Áp dụng quy tắc nhân vecto với một số

Lời giải:

Bài 3 trang 56 SGK Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông tại B, BC = 3, BA = 2, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có độ dài bằng 2 (Hình 13).

a) Xác định một hệ toạ độ dựa trên gợi ý của hình vẽ và chỉ ra các vectơ đơn vị trên các trục toạ độ.

b) Tìm toạ độ các điểm A, B, C, S.

Phương pháp:

Quan sát hình vẽ

Lời giải:

a)

Các vectơ đơn vị trên ba trục Ox, Oy, Oz lần lượt là với độ dài của  lần lượt bằng 

b) Vì B trùng với gốc tọa độ nên B(0; 0; 0).

Vì  cùng hướng và BA = 2 nên . Suy ra A(0; 2; 0).

Vì  cùng hướng và BC = 3 nên . Suy ra C(3; 0; 0).

Gọi E là hình chiếu của S lên trục Oz.

Ta có BE = AS = 2.

Vì  cùng hướng và BE = 2 nên .

Theo quy tắc hình bình hành ta có:

Bài 4 trang 57 SGK Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 2, SA vuông góc với đáy và SA bằng 1 (Hình 14). Thiết lập hệ toạ độ như hình vẽ, hãy vẽ các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz và tìm toạ độ các điểm A, B, C, S.

Phương pháp:

Quan sát hệ trục tọa độ đã vẽ

Lời giải:

Các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là  với E là điểm thuộc tia Oy sao cho OE = 1 và H là điểm thuộc tia Oz sao cho OH = 1.

Vì $\Delta$ABC đều và AO $\perp$ BC nên O là trung điểm của BC.

Mà BC = 2 nên OB = OC = 1 và 

Bài 5 trang 57 SGK Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 5, giao điểm hai đường chéo AC và BD trùng với gốc O. Các vectơ \(\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OC} ,\overrightarrow {OS} \)­ lần lượt cùng hướng với \(\overrightarrow i \), \(\overrightarrow j \), \(\overrightarrow k \) và OA = OS = 4 (Hình 15). Tìm toạ độ các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AS} \) và \(\overrightarrow {AM} \)­ ­với M là trung điểm của cạnh SC.

Phương pháp:

Quan sát hình vẽ. Tìm tọa độ các điểm A, B, C, S và M rồi tính tọa độ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AS} \) và \(\overrightarrow {AM} \)­

Lời giải:

Vì ABCD là hình thoi cạnh bằng 5, O là giao điểm của AC và BD nên O là trung điểm của AC và BD. 

Bài 6 trang 57 SGK Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Một chiếc xe đang kéo căng sợi dây cáp AB trong công trường xây dựng, trên đó đã thiết lập hệ toạ độ Oxyz như Hình 16 với độ dài đơn vị trên các trục toạ độ bằng 1 m. Tìm toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} \)

Phương pháp:

Quan sát hình vẽ. Tìm tọa độ điểm A, B rồi tính tọa độ vectơ \(\overrightarrow {AB} \)

Lời giải:

Bài 7 trang 57 SGK Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Ở một sân bay, ví trí của máy bay được xác định bởi điểm M trong không gian Oxyz như Hình 17. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M xuống mặt phẳng (Oxy). Cho biết OM = 50, \((\overrightarrow i ;\overrightarrow {OH} ) = 64^\circ \), \((\overrightarrow {OH} ;\overrightarrow {OM} ) = 48^\circ \). Tìm toạ độ của điểm M.

Phương pháp:

Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông để tìm hoành độ, tung độ và cao độ của M

Lời giải:

Giả sử M(x; y; z).

H  (Oxy) $\Rightarrow$ H(x; y; 0).

Vì OBHA là hình bình hành nên BH = OA.

Vì OCMH là hình bình hành nên OC = MH.

Xét $\Delta$MHO vuông tại H, có OH = OM.cos48° = 50. cos48° ≈ 33,46.

MH = OM.sin48° = 50. sin48° ≈ 37,16.

Xét OAH vuông tại A, có BH = OA = OH.cos64° = 33,46. cos64° ≈ 14,67. 

Sachbaitap.com