Loigiaihay.com 2023

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Bài 1.4 trang 100 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Bình chọn:
4 trên 2 phiếu

Chứng minh các bất đẳng thức sau (n ∈ N*)

Chứng minh các bất đẳng thức sau (n ∈ N*)

a) \({2^{n + 2}} > 2n + 5{\rm{ }}\);

b) \({\sin ^{2n}}\alpha  + {\cos ^{2n}}\alpha  \le 1\)    

Giải:

a)      Với n = 1 thì \({2^{1 + 2}} = 8 > 7 = 2.1 + 5\)

Giả sử bất đẳng thức đúng với \(n = k \ge 1\) tức là \({2^{k + 2}} > 2k + 5\,\,\,(1)\)

Ta phải chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1, tức là \({2^{k + 3}} > 2\left( {k + 1} \right) + 5\) hay \({2^{k + 3}} > 2k + 7\,\,\,\left( 2 \right)\) 

Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2, ta được

\({2^{k + 3}} > 4k + 10 = 2k + 7 + 2k + 3\) 

Vì \(2k + 3 > 0\) nên \({2^{k + 3}} > 2k + 7\left( {đpcm} \right)\)

b)      Với n = 1 thì \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\) bất đẳng thức đúng.

Giả sử đã có \({\sin ^{2k}}\alpha  + {\cos ^{2k}}\alpha  \le 1\) với \(k \ge 1\), ta phải chứng minh

\({\sin ^{2k + 2}}\alpha  + {\cos ^{2k + 2}}\alpha  \le 1\). 

Thật vậy, ta có:

\({\sin ^{2k + 2}}\alpha  + {\cos ^{2k + 2}}\alpha\)

\( = {\sin ^{2k}}\alpha .{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^{2k}}\alpha .{\cos ^2}\alpha  \le {\sin ^{2k}}\alpha  + {\cos ^{2k}}\alpha  \le 1\)         

Bài tiếp theo

Xem lời giải SGK - Toán 11 - Xem ngay

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Bài viết liên quan