Bài 20 trang 8 SBT Hình học 10 Nâng cao

Cho tam giác ABC và các điểm \(A_1, B_1, C_1\) lần lượt nằm trên các đường thẳng \(BC, CA, AB\). Gọi \(A_2, B_2, C_2\) lần lượt là các điểm đối xứng với \(A_1, B_1, C_1\) qua trung điểm  của \(BC, CA, AB\). Chứng minh rằng

a) Nếu ba điểm \(A_1, B_1, C_1\) thẳng hàng thì ba điểm \(A_2, B_2, C_2\) cũng thế;

b) Nếu ba đường thẳng \(AA_1, BB_1, CC_1\) đồng quy hoặc song song thì ba đường thẳng \(AA_2, BB_2, CC_2\) cũng thế.

Giải

Ta gọi \(k, l, m\) là các số sao cho \(\overrightarrow {{A_1}B}  = k\overrightarrow {{A_1}C};\) \(\overrightarrow {{B_1}C}  = l\overrightarrow {{B_1}A};\) \(\overrightarrow {{C_1}A}  = m\overrightarrow {{C_1}B} \).

Chú ý rằng ba điểm \(A_1, B_1, C_1\) lần lượt là đối xứng với ba điểm \(A_2, B_2, C_2\) qua trung điểm đoạn thẳng \(BC, CA, AB\) nên ta có

\(\overrightarrow {{A_2}C}  = k\overrightarrow {{A_2}B};\) \(\overrightarrow {{B_2}A}  = l\overrightarrow {{B_2}C};\) \(\overrightarrow {{C_2}B}  = m\overrightarrow {{C_2}A} \)

Từ đó bằng cách áp dụng định lí thuận và đảo của định lí Mê-nê-la-uýt ( hoặc Xê- va) ta chứng minh được câu a) ( hoặc câu b)).

Sachbaitap.com